Τεστ Εξάσκησης (51), Μικροί

#1

ΘΕΜΑ 1
Έστω ABC

ισοσκελές τρίγωνο με AB = AC

με περίκεντρο το

και έγκεντρο το

Το σημείο

βρίσκεται στην

έτσι ώστε η ευθεία

να είναι κάθετη στην ευθεία CI.

Να αποδείξετε ότι οι ευθείες

και

είναι παράλληλες.

ΘΕΜΑ 2
Στον πίνακα είναι γραμμένοι οι αριθμοί 0,1,2,...,100

με κενά μεταξύ τους.
Ένας μαθητής, ο Α, τοποθετεί στα κενά 50

και 50

και υπολογίζει την τιμή της παράστασης που προκύπτει (με τη συνήθη προτεραιότητα πράξεων.)
Έστω ότι το αποτέλεσμα που βρίσκει είναι ο αριθμός

Στη συνέχεια ο μαθητής Β αλλάζει όλα τα

σε

και όλα τα

σε

στην παράσταση που σχημάτισε ο Α και υπολογίζει την τιμή της νέας παράστασης, έστω

Αν τα τέσσερα τελευταία ψηφία του αριθμού a+b

είναι

να δείξετε ότι κάποιος από τους μαθητές έκανε λάθος στις πράξεις.

ΘΕΜΑ 3
Έστω a,b,c

θετικοί πραγματικοί αριθμοί με a+b+c=3.

Να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{\sqrt{2+a^2}+\sqrt{2+b^2}+\sqrt{2+c^2}\geq 3\sqrt{3}.}$

ΘΕΜΑ 4
∆ύο φίλοι συµφώνησαν να συναντηθούν στο Λευκό Πύργο µεταξύ 8:00 μ.µ. και 9:00 μ.µ. Ωστόσο, κανένας από τους δύο δεν θα περιµένει τον
άλλο για περισσότερο από 15 λεπτά της ώρας. Ποια είναι η πιθανότητα οι δύο φίλοι να συναντηθούν;

thepigod762 · #2

socrates έγραψε: Παρ Δεκ 31, 2021 8:12 pm ΘΕΜΑ 3
Έστω θετικοί πραγματικοί αριθμοί με Να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{\sqrt{2+a^2}+\sqrt{2+b^2}+\sqrt{2+c^2}\geq 3\sqrt{3}.}$

Το θέμα 3 λύνεται ως άμεση συνέπεια της ανισότητας Minkowski

:

$\sqrt{\alpha _1^{2}+\alpha_2^{2}}+\sqrt{\beta _1^{2}+\beta _2^{2} }+...+\sqrt{\gamma _1^{2} +\gamma _2^{2}}\geq$

$\geq \sqrt{(\alpha _1+\alpha _2)^{2}+(\beta _1+\beta _2)^{2}+...+(\gamma _1+\gamma _2)^{2}}$

Είναι
$\sum \sqrt{2+a^{2}}\geq \sqrt{(3\sqrt{2})^{2}+(a+b+c)^{2}}=3\sqrt{3}$

#3

socrates έγραψε: Παρ Δεκ 31, 2021 8:12 pm ΘΕΜΑ 1
Έστω ισοσκελές τρίγωνο με με περίκεντρο το και έγκεντρο το Το σημείο βρίσκεται στην έτσι ώστε η ευθεία να είναι κάθετη στην ευθεία Να αποδείξετε ότι οι ευθείες και είναι παράλληλες.

Ωραιότατο προβληματάκι για τους μικρούς αρκεί να αφήσουμε τους μικρούς να "γυρίσουν" τους κύκλους

#4

socrates έγραψε: Παρ Δεκ 31, 2021 8:12 pm ΘΕΜΑ 3
Έστω θετικοί πραγματικοί αριθμοί με Να αποδείξετε ότι

$\displaystyle{\sqrt{2+a^2}+\sqrt{2+b^2}+\sqrt{2+c^2}\geq 3\sqrt{3}.}$

Ένας ακόμα τρόπος:

$\displaystyle{2+a^2 = 1+1+a^2 =\frac{1^2}{1}+\frac{1^2}{1}+\frac{a^2}{1}\geq\frac{(1+1+a)^2} {1+1+1}=\frac{(2+a)^2}{3} }$

Άρα $\displaystyle{\sqrt{2+a^2}\geq\frac{2+a}{\sqrt{3}}}$ , (ΣΧΕΣΗ 1)

Ομοίως έχουμε:
$\displaystyle{\sqrt{2+b^2}\geq\frac{2+b}{\sqrt{3}}}$ , (ΣΧΕΣΗ 2)

$\displaystyle{\sqrt{2+c^2}\geq\frac{2+c}{\sqrt{3}}}$ , (ΣΧΕΣΗ 3)

Προσθέτοντας κατά μέλη τις σχέσεις (1),(2) και (3) παίρνουμε:

$\displaystyle{\sqrt{2+a^2}+\sqrt{2+b^2}+\sqrt{2+c^2}\geq \frac{2+2+2+a+b+c}{\sqrt{3}} = \frac{6+3}{\sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}$

thepigod762 · #5

socrates έγραψε: Παρ Δεκ 31, 2021 8:12 pm ΘΕΜΑ 4
∆ύο φίλοι συµφώνησαν να συναντηθούν στο Λευκό Πύργο µεταξύ 8:00 μ.µ. και 9:00 μ.µ. Ωστόσο, κανένας από τους δύο δεν θα περιµένει τον
άλλο για περισσότερο από 15 λεπτά της ώρας. Ποια είναι η πιθανότητα οι δύο φίλοι να συναντηθούν;

Για το 4

Ας είναι x,y

οι ώρες άφιξης των δύο φίλων.

Ο δειγματικός χώρος είναι:
$\Omega =\left \{ (x,y):x,y \leq 60\right \}$

Οι ευνοικές περιπτώσεις είναι:
$A=\left \{ (x,y):0\leq x,y \leq 60,\left | x-y \right |\leq15 \right \}$

Εποπτικά είναι (πείτε ότι οι συντεταγμένες είναι οι δεκαπλάσιες):

: ΠΙΘΑΝΌΤΗΤΕΣ.PNG (66.53 KiB) Προβλήθηκε 1658 φορές

Συνεπώς έχουμε:
$P(A)=\dfrac{A}{\Omega }=\dfrac{3600-2\dfrac{45^{2}}{2}}{3600}=\dfrac{7}{16}=0,4375$

#6

socrates έγραψε: Παρ Δεκ 31, 2021 8:12 pm ΘΕΜΑ 4
∆ύο φίλοι συµφώνησαν να συναντηθούν στο Λευκό Πύργο µεταξύ 8:00 μ.µ. και 9:00 μ.µ. Ωστόσο, κανένας από τους δύο δεν θα περιµένει τον
άλλο για περισσότερο από 15 λεπτά της ώρας. Ποια είναι η πιθανότητα οι δύο φίλοι να συναντηθούν;

Δείτε και
viewtopic.php?f=12&t=23430

#7

socrates έγραψε: Παρ Δεκ 31, 2021 8:12 pm ΘΕΜΑ 2
Στον πίνακα είναι γραμμένοι οι αριθμοί με κενά μεταξύ τους.
Ένας μαθητής, ο Α, τοποθετεί στα κενά 50 και 50 και υπολογίζει την τιμή της παράστασης που προκύπτει (με τη συνήθη προτεραιότητα πράξεων.)
Έστω ότι το αποτέλεσμα που βρίσκει είναι ο αριθμός
Στη συνέχεια ο μαθητής Β αλλάζει όλα τα σε και όλα τα σε στην παράσταση που σχημάτισε ο Α και υπολογίζει την τιμή της νέας παράστασης, έστω
Αν τα τέσσερα τελευταία ψηφία του αριθμού είναι να δείξετε ότι κάποιος από τους μαθητές έκανε λάθος στις πράξεις.

Μια λύση:
viewtopic.php?p=88658#p88658

#8

socrates έγραψε: Παρ Δεκ 31, 2021 8:12 pm ΘΕΜΑ 1
Έστω ισοσκελές τρίγωνο με με περίκεντρο το και έγκεντρο το Το σημείο βρίσκεται στην έτσι ώστε η ευθεία να είναι κάθετη στην ευθεία Να αποδείξετε ότι οι ευθείες και είναι παράλληλες.

Επαναφορά! Γιατί να μένει άλυτο;

KARKAR · #9

: Όχι.png (13.11 KiB) Προβλήθηκε 1123 φορές

Ίσως να υπάρχει κάποιο λάθος στην εκφώνηση ή εγώ δεν την κατάλαβα καλά .

Πάντως όπως βλέπετε στο σχήμα δεν προκύπτει παραλληλία των AB , ID

Διόρθωση : Το

στο σχήμα μου είναι το βαρύκεντρο , ενώ έπρεπε να είναι το περίκεντρο ...

vgreco · #10

socrates έγραψε: Παρ Δεκ 31, 2021 8:12 pm ΘΕΜΑ 1
Έστω ισοσκελές τρίγωνο με με περίκεντρο το και έγκεντρο το Το σημείο βρίσκεται στην έτσι ώστε η ευθεία να είναι κάθετη στην ευθεία Να αποδείξετε ότι οι ευθείες και είναι παράλληλες.

: practice_test-mikroi[51].png (23.81 KiB) Προβλήθηκε 1105 φορές

Ονομάζω

την τομή των

,

και φέρω την

.

,

προφανώς συνευθειακά, οπότε αν $\widehat{BAI} = \widehat{IAC} = \widehat{ACO} = {\varphi}$ , προκύπτει πως $\widehat{AIC} = 90^\circ + \dfrac{\widehat{B}}{2} = 135^\circ - \dfrac{\varphi}{2}$ και άρα $\widehat{EOI} = 45^\circ - \dfrac{\varphi}{2} = \dfrac{\widehat{B}}{2} = \dfrac{\widehat{C}}{2} = \widehat{ICD}$ .

Αυτό σημαίνει ότι το ODCI

είναι εγγράψιμο και το ζητούμενο έπεται.

Τεστ Εξάσκησης (51), Μικροί

Τεστ Εξάσκησης (51), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (51), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (51), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (51), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (51), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (51), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (51), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (51), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (51), Μικροί

Re: Τεστ Εξάσκησης (51), Μικροί

Μέλη σε σύνδεση