Πονηρή εξίσωση δύο μεταβλητών

#1

Να βρεθούν τα x,y

αν

και $(3x-4x^3)(3y-4y^3) = -\dfrac {1}{2}$ .

(Αν σκεφτείς την πονηριά, θα την λύσεις σε δυο-τρεις γραμμές.)

#2

Καλησπέρα σε όλους. Χρησιμοποιώ πολικές συντεταγμένες.

Θέτω $\displaystyle \cos \varphi = x,\;\;\sin \varphi = y$

οπότε η εξίσωση γίνεται $\displaystyle (3\cos \varphi - 4{\cos ^3}\varphi )(3\sin \varphi - 4{\sin ^3}\varphi ) = - \frac{1}{2}$

$\displaystyle \Leftrightarrow -2\cos 3\varphi \cdot \sin 3\varphi = -1 \Leftrightarrow \sin 6\varphi = \sin \frac{{\pi }}{2} \Leftrightarrow \varphi = \frac{k\pi}{3}+\frac{\pi }{12}$

Άρα $\displaystyle x=sin \frac{k\pi}{3}+\frac{\pi}{12}, y=cos \frac{k\pi}{3}+\frac{\pi}{12}$ , με $k \in Z$

edit: Συμπλήρωσα την απάντησή μου.

#3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 13, 2022 11:28 pm
Να βρεθούν τα αν και $(3x-4x^3)(3y-4y^3) = -\dfrac {1}{2}$ .

(Αν σκεφτείς την πονηριά, θα την λύσεις σε δυο-τρεις γραμμές.)

Θέτω $x = \sin t\,\,\kappa \alpha \iota \,\,y = \cos t$ κι έχω : $2\sin 3t\cos 3t = 1 \Leftrightarrow \sin 6t = 1$ και άρα,

$6t = 2k\pi + \dfrac{\pi }{2}\,\,,\,\,k \in \mathbb{Z}$ και τελικά :

$\begin{gathered} x = \sin \left( {\dfrac{{k\pi }}{3} + \dfrac{\pi }{{12}}} \right) \hfill \\ y = \cos \left( {\dfrac{{k\pi }}{3} + \dfrac{\pi }{{12}}} \right) \hfill \\ \end{gathered}$ με $k \in \mathbb{Z}$

Καλημέρα σας. Με πρόλαβε ο Γιώργος

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Αύγ 13, 2022 11:28 pm
Να βρεθούν τα αν και $(3x-4x^3)(3y-4y^3) = -\dfrac {1}{2}$ .

(Αν σκεφτείς την πονηριά, θα την λύσεις σε δυο-τρεις γραμμές.)

Και χωρίς πονηριά λύνεται σχετικά εύκολα.
Θέτοντας t=xy

η δεύτερη δίνει μια τριτοβάθμια που εύκολα επιλύεται .
Βρίσκουμε $t=-\frac{1}{2 },t=\frac{1}{4}$
Τα συστήματα
$x^{2}+y^2=1,xy=-\frac{1}{2}$
$x^{2}+y^2=1,xy=\frac{1}{4}$
λύνονται αφού πρώτα βρούμε το x+y

και μετά φτιάξουμε το τριώνυμο με ρίζες τα x,y

Ετσι βρίσκουμε και ακριβώς τις τιμές των x,y

.
Θα έλεγα ότι η παραπάνω τριγωνομετρική λύση βολεύει όταν θέλουμε το πλήθος των λύσεων.

Πονηρή εξίσωση δύο μεταβλητών

Πονηρή εξίσωση δύο μεταβλητών

Re: Πονηρή εξίσωση δύο μεταβλητών

Re: Πονηρή εξίσωση δύο μεταβλητών

Re: Πονηρή εξίσωση δύο μεταβλητών

Μέλη σε σύνδεση