Τρεις ίσοι

#1

Αν $\displaystyle{x^2 +y = y^2 +z = z^2 +x}$ και οι αριθμοί $\displaystyle{x , y , z}$ είναι ακέραιοι, να αποδείξετε ότι $\displaystyle{x = y = z}$

#2

Καλημέρα σε όλους. Επιχειρώ μιαν απάντηση στο πρόβλημα του Δημήτρη.

Είναι $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} {x^2} + y = k\;\;\;\left( 1 \right)\\ {y^2} + z = k\;\;\;\left( 2 \right)\\ {z^2} + x = k\,\,\,\,\,\left( 3 \right) \end{array} \right.$

Αφαιρώντας κατά μέλη (1) – (2), (2) – (3), (3) – (1) έχουμε $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) = z - y\\ \left( {y - z} \right)\left( {y + z} \right) = x - z\\ \left( {z - x} \right)\left( {x + z} \right) = y - x \end{array} \right.$

Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη $\displaystyle \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z - x} \right)\left( {x + z} \right) = \left( {z - y} \right)\left( {x - z} \right)\left( {y - x} \right)$

Αν $\displaystyle x \ne y\;\; \wedge \;\;x \ne z\;\; \wedge \;\;y \ne z$ , απλοποιώντας έχουμε $\displaystyle \left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {x + z} \right) = - 1$

οπότε, αφού είναι ακέραιοι, είτε θα είναι $\displaystyle x + y + z = - \frac{3}{2}$ αδύνατον, είτε $\displaystyle x + y + z = - \frac{1}{2}$ , επίσης αδύνατον.

Άρα, τουλάχιστον ένα ζεύγος αριθμών είναι ίσοι μεταξύ τους.

Έστω $\displaystyle x=y$ , οπότε η ισότητα $\displaystyle \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) = z - y$ δίνει ότι και $\displaystyle z=y$ .

Oμοίως και στις άλλες περιπτώσεις.

Τρεις ίσοι

Τρεις ίσοι

Re: Τρεις ίσοι

Μέλη σε σύνδεση