Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2023 (ΦΙΙΙ 9η τάξη, 1η μέρα)

[Al.Koutsouridis]

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2023, 3η φάση.
Θέματα της 1ης μέρας για την 9η τάξη. 13 Φεβρουαρίου 2023.

1. Ένας ποδηλατοδρόμος αποτελείται από δυο κομμάτια: στην αρχή ασφαλτοστρωμένος και έπειτα χωματόδρομος. Ο Γιώργος και ο Δημήτρης ξεκίνησαν ξεχωριστά (στην αρχή ο Γιώργος και ύστερα ο Δημήτρης), και ο καθένας τους διήλθε όλη την διαδρομή. Η ταχύτητα κάθε παιδιού σε καθένα από τα δυο κομμάτια της διαδρομής ήταν σταθερή. Προέκυψε, ότι έφτασε ο ένας τον άλλον στο μέσο της ασφαλτοστρωμένης διαδρομής, καθώς και στο μέσο του χωμάτινης διαδρομής. Ποιο από τα παιδία διήλθε όλη την διαδρομή σε λιγότερο χρόνο; (Ι. Μπογκντάνοβ)

2. Δίνεται ένα χάρτινο τρίγωνο, τα μήκη των πλευρών του οποίου είναι ίσα με εκ, εκ. και εκ. Μπορούμε άραγε, να το διαμερίσουμε σε μερικά (περισσότερα του ένα) πολύγωνα, στο καθένα εκ των οποίων το εμβαδόν (μετρημένο σε τετρραγωνικά εκατοστά) αριθμητικά να ισούται με την περίμετρο (μετρημένη σε εκ.); (Ντ. Χραμτσόβ)

3. Δίνεται ένας φυσικός αριθμός . Σε ένα τετραγωνισμένο πίνακα τοποθετήθηκαν πύργοι έτσι, ώστε κανένα ζεύγος να μην βρίσκεται στην ίδια οριζόντιο ή κάθετο. Ύστερα ο πίνακας διαμερίστηκε κατά μήκος των γραμμών του πλέγματος σε δυο συνεκτικά μέρη, συμμετρικά ως προς το κέντρο του πίνακα. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος δυνατός αριθμός πύργων που μπορεί να προέκυψαν σε ένα από τα μέρη; (Ένα τετραγωνισμένο σχήμα ονομάζεται συνεκτικό, αν σε αυτό το σχήμα από οποιοδήποτε κελί μπορούμε να μεταβούμε σε οποιοδήποτε άλλο, διερχόμενοι κάθε φορά σε γειτονικό κατά πλευρά κελί.) (Ντ. Χραμτσόβ)

4. Δίνονται τρεις (μη μηδενικοί) φυσικοί αριθμοί και . Κανένας εκ των οποίων δεν διαιρείται με τους άλλους. Είναι γνωστό, ότι ο αριθμός διαιρείτε με τον αριθμό . Να αποδείξετε, ότι . (Μ. Αντίποβ)

5. Το τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο . Προέκυψε, ότι οι κύκλοι με διαμέτρους τα τμήματα και εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο . Έστω και τα μέσα των τμημάτων και αντίστοιχα. Να αποδείξετε, ότι η κάθετος από το σημείο προς την ευθεία , τέμνει την ευθεία σε σημείο, που βρίσκεται στον κύκλο . (Ι. Ποτσέντσοβ, Ντ. Μπρόντσκιϊ)

[Mihalis_Lambrou]

2. Δίνεται ένα χάρτινο τρίγωνο, τα μήκη των πλευρών του οποίου είναι ίσα με εκ, εκ. και εκ. Μπορούμε άραγε, να το διαμερίσουμε σε μερικά (περισσότερα του ένα) πολύγωνα, στο καθένα εκ των οποίων το εμβαδόν (μετρημένο σε τετρραγωνικά εκατοστά) αριθμητικά να ισούται με την περίμετρο (μετρημένη σε εκ.); (Ντ. Χραμτσόβ)

Όχι δεν μπορούμε. Το μυστικό είναι ότι η περίμετρος και το εμβαδόν του δοθέντος (ορθογωνίου) τριγώνου (υπόψη ) είναι και τα δύο καθώς .

Συμβολίζουμε με το εμβαδόν πολυγώνου και με την περίμετρό του. Στην παραπάνω διαμέριση απαιτούμε για καθένα από τα πολύγωνα της διαμέρισης. Αν μπορούσαμε να πετύχουμε το ζητούμενο, π.χ. με διαμέριση όπως την εικονιζόμενη (εδώ σε τρία μέρη αλλά βάλε όσα θέλεις) θα είχαμε για το δοθέν τρίγωνο ότι

μπλε εξωτερικής γραμμής (διότι αγνοούμε διάφορα κόκκινα τμήματα) . Άτοπο.

[Demetres]

Πανρωσική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2023, 3η φάση.
Θέματα της 1ης μέρας για την 9η τάξη. 13 Φεβρουαρίου 2023.

3. Δίνεται ένας φυσικός αριθμός . Σε ένα τετραγωνισμένο πίνακα τοποθετήθηκαν πύργοι έτσι, ώστε κανένα ζεύγος να μην βρίσκεται στην ίδια οριζόντιο ή κάθετο. Ύστερα ο πίνακας διαμερίστηκε κατά μήκος των γραμμών του πλέγματος σε δυο συνεκτικά μέρη, συμμετρικά ως προς το κέντρο του πίνακα. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος δυνατός αριθμός πύργων που μπορεί να προέκυψαν σε ένα από τα μέρη; (Ένα τετραγωνισμένο σχήμα ονομάζεται συνεκτικό, αν σε αυτό το σχήμα από οποιοδήποτε κελί μπορούμε να μεταβούμε σε οποιοδήποτε άλλο, διερχόμενοι κάθε φορά σε γειτονικό κατά πλευρά κελί.) (Ντ. Χραμτσόβ)

Σε κάθε γραμμή, από την πρώτη μέχρι τη , παίρνουμε τα πρώτα κελιά από αριστερά για να φτιάξουμε το πρώτο κομμάτι που είναι συμμετρικό ως προς το δεύτερο. Το πρώτο κομμάτι μπορεί να έχει πύργους που να μην απειλούνται: Στην γραμμή , για , τοποθετούμε τον πύργο στη στήλη .

Σε κανένα παράδειγμα δεν μπορούμε να έχουμε πύργους σε ένα κομμάτι. Αν είχαμε, τότε θα μπορούσαμε να πάρουμε ένα «οριζόντιο» μονοπάτι που να οδηγεί από τον πύργο της πρώτης στήλης στον πύργο της τελευταίας στήλης. Ομοίως έχουμε ένα «κάθετο» μονοπάτι που οδηγεί από τον πύργο της πρώτης γραμμής στον πύργο της τελευταίας γραμμής. Το συμμετρικό όμως του πρέπει να τέμνεται με το , άτοπο αφού ανήκουν σε διαφορετικά κομμάτια.