Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2023 (11η τάξη, 1η Μέρα)

Al.Koutsouridis · #1

LXXXVI Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
12 Μαρτίου 2023 $\bullet$ 11η τάξη, 1η Μέρα

Πρόβλημα 1. Στις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $y = \cos x$ και $y=a \tan x$ φέρθηκαν οι εφαπτόμενές τους σε κάποιο σημείο τομής τους. Να αποδείξετε, ότι αυτές οι εφαπτόμενες είναι κάθετες μεταξύ τους για κάθε $a \neq 0$ . (Β. Κλέντσιν, Γκ. Μερζόν)

Πρόβλημα 2. Έστω ABCD

μη ορθογώνιο παραλληλόγραμμο και

σημείο στο εσωτερικό του τέτοιο, ώστε οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων PAB

και

να έχουν κοινή χορδή, κάθετη προς την

. Να αποδείξετε, ότι οι ακτίνες αυτών των κύκλων είναι ίσες. (Α. Ζασλάβσκιϊ)

Πρόβλημα 3. Δίνεται ένα πολυώνυμο P(x)

βαθμού

με ακέραιους συντελεστές, που έχει

διαφορετικές ακέραιες ρίζες. Να αποδείξετε, ότι το πολυώνυμο P(x)+3

έχει

διαφορετικές πραγματικές ρίζες. (Μ. Μάλκιν)

Πρόβλημα 4. Σε ένα τουρνουά τένις (όπου δεν υπάρχουν ισοπαλίες) συμμετείχαν περισσότεροι από

αθλητές. Κάθε αγωνιστική μέρα κάθε τενίστας συμμετείχε ακριβώς σε έναν αγώνα. Στο τέλος του τουρνουά ο καθένας έπαιξε με κάθε άλλον ακριβώς από μια φορά. Θα ονομάσουμε έναν παίχτη επίμονο, αν κέρδισε τουλάχιστον ένα αγώνα και μετά την πρώτη του νίκη δεν έχασε ούτε μια φορά. Τους υπόλοιπους αθλητές θα τους ονομάσουμε μη επίμονους. Αληθεύει άραγε, ότι οι αγωνιστικές ημέρες, κατά τις οποίες υπήρχε συνάντηση μη επίμονων παιχτών, είναι περισσότερες από τις μισές; (Μπ. Φρένκιν)

Πρόβλημα 5. Τα μέσα όλων των υψών ενός τετράεδρου βρίσκονται πάνω στην εγγεγραμμένη σφαίρα του. Αληθεύει άραγε, ότι το τετράεδρο είναι κανονικό; (Μ. Εβδοκίμοβ)

Πρόβλημα 6. Θα ονομάσουμε μια τριάδα αριθμών τριπλέτα, αν ένας εξ αυτών είναι ίσος με τον αριθμητικό μέσο των άλλων δυο. Η ακολουθία $\left ( a_{n} \right )$ ορίζεται ως εξής: $a_{1}=a_{2}=1$ και για κάθε n >2

ο αριθμός $a_{n}$ είναι ο ελάχιστος φυσικός (μη μηδενικός) αριθμός τέτοιος, ώστε μεταξύ των αριθμών $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}$ να μην υπάρχουν τρεις, που σχηματίζουν τριπλέτα. Να αποδείξετε, ότι $a_{n} \leq \dfrac{n^2+7}{8}$ για οποιοδήποτε

. (Μπ. Μπουτίριν)

#2

Al.Koutsouridis έγραψε: Δευ Μαρ 13, 2023 10:45 pm Πρόβλημα 1. Στις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $y = \cos x$ και $y=a \tan x$ φέρθηκαν οι εφαπτόμενές τους σε κάποιο σημείο τομής τους. Να αποδείξετε, ότι αυτές οι εφαπτόμενες είναι κάθετες μεταξύ τους για κάθε $a \neq 0$ . (Β. Κλέντσιν, Γκ. Μερζόν)

Μάλλον τους ξέφυγε! Η άσκηση είναι σαφώς κοινή ερώτηση μέσα στην τάξη, και όχι θέμα ενός τόσο ελκυστικού και απαιτητικού διαγωνισμού όπως η Ολυμπιάδα Μόσχας:

Ο καμπύλες τέμνονται όταν $\cos x = a \tan x$ , ισοδύναμα $\dfrac {a \sin x} {\cos ^2 x}=1$ .

Οι κλίσεις στο σημείο τομής είναι (από παραγώγιση) $-\sin x$ και $\dfrac {a}{\cos ^2 x}$ , αντίστοιχα. Πολλαπλασιάζοντας τις κλίσεις και με χρήση της προηγούμενης θα βρούμε

$-\dfrac {a\sin x}{\cos ^2 x}= -1$ . Κάθετες.

Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2023 (11η τάξη, 1η Μέρα)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2023 (11η τάξη, 1η Μέρα)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2023 (11η τάξη, 1η Μέρα)

Μέλη σε σύνδεση