IMO 2023
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
-
- Δημοσιεύσεις: 3
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 09, 2021 7:17 pm
IMO 2023
Αναρτώ τα θέματα της φετινής ΙΜΟ
Πρόβλημα 1: Να βρείτε όλους τους σύνθετους θετικούς ακεραίους με την εξής ιδιότητα: Αν είναι όλοι οι θετικοί του διαιρέτες, τότε ο διαιρεί τον για κάθε
Πρόβλημα 2: Έστω ένα οξυγώνιο τρίγωνο με . Έστω ο περιγεγραμμένος κύκλος του . Έστω το μέσο του τόξου του που περιέχει το . Η κάθετη από προς τη τέμνει την στο και τέμνει τον ξανά στο . Η ευθεία που διέρχεται από το και είναι παράλληλη στη τέμνει την ευθεία στο . Συμβολίζουμε τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου με . Έστω ότι ο τέμνει ξανά το στο . Αποδείξτε ότι η ευθεία που εφάπτεται στον στο τέμνει την ευθεία στην εσωτερική διχοτόμο γωνίας της γωνίας .
Πρόβλημα 3: Για κάθε ακέραιο να προσδιορίσετε όλες τις άπειρες ακολουθίες θετικών ακεραίων για τις οποίες υπάρχει πολυώνυμο της μορφής , όπου είναι μη αρνητικοί ακέραιοι, έτσι ώστε: για κάθε ακέραιο .
Πρόβλημα 4: Έστω διαφορετικοί ανά δύο θετικοί πραγματικοί ώστε ο να είναι ακέραιος για κάθε Να δείξετε ότι
Πρόβλημα 5: Έστω ένας θετικός ακέραιος. Ένα ιαπωνικό τρίγωνο αποτελείται από κύκλους σε σχήμα ισόπλευρου τριγώνου ώστε για κάθε ώστε η οστή σειρά να περιέχει κύκλους εκ των οποίων μόνο ένας είναι βαμμένος κόκκινος. Ένα μονοπάτι ninja σε ένα ιαπωνικό τρίγωνο είναι μια ακολουθία από κύκλους που προκύπτει ξεκινώντας από την επάνω σειρά, μετά πηγαίνοντας επανειλημμένα από έναν κύκλο σε έναν από τους δύο κύκλους ακριβώς κάτω από αυτόν και τελειώνοντας στην κάτω σειρά. Να βρείτε συναρτήσει του τον μέγιστο ώστε σε κάθε ιαπωνικό τρίγωνο να υπάρχει ένα ninja path που περιέχει τουλάχιστον κόκκινους κύκλους.
Εδώ είναι ένα παράδειγμα ενός ninja path σε ένα ιαπωνικό τρίγωνο για . Πρόβλημα 6: Έστω ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Έστω σημεία στο εσωτερικό του ώστε , , , and
Έστω ότι οι και τέμνονται στο οι and τέμνονται στο και and τέμνονται στο
Να δείξετε ότι αν το τρίγωνο είναι σκαληνό, τότε οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων
and διέρχονται από 2 κοινά σημεία.
Καλή επιτυχία στα μέλη της ελληνικής αποστολής!
Πρόβλημα 1: Να βρείτε όλους τους σύνθετους θετικούς ακεραίους με την εξής ιδιότητα: Αν είναι όλοι οι θετικοί του διαιρέτες, τότε ο διαιρεί τον για κάθε
Πρόβλημα 2: Έστω ένα οξυγώνιο τρίγωνο με . Έστω ο περιγεγραμμένος κύκλος του . Έστω το μέσο του τόξου του που περιέχει το . Η κάθετη από προς τη τέμνει την στο και τέμνει τον ξανά στο . Η ευθεία που διέρχεται από το και είναι παράλληλη στη τέμνει την ευθεία στο . Συμβολίζουμε τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου με . Έστω ότι ο τέμνει ξανά το στο . Αποδείξτε ότι η ευθεία που εφάπτεται στον στο τέμνει την ευθεία στην εσωτερική διχοτόμο γωνίας της γωνίας .
Πρόβλημα 3: Για κάθε ακέραιο να προσδιορίσετε όλες τις άπειρες ακολουθίες θετικών ακεραίων για τις οποίες υπάρχει πολυώνυμο της μορφής , όπου είναι μη αρνητικοί ακέραιοι, έτσι ώστε: για κάθε ακέραιο .
Πρόβλημα 4: Έστω διαφορετικοί ανά δύο θετικοί πραγματικοί ώστε ο να είναι ακέραιος για κάθε Να δείξετε ότι
Πρόβλημα 5: Έστω ένας θετικός ακέραιος. Ένα ιαπωνικό τρίγωνο αποτελείται από κύκλους σε σχήμα ισόπλευρου τριγώνου ώστε για κάθε ώστε η οστή σειρά να περιέχει κύκλους εκ των οποίων μόνο ένας είναι βαμμένος κόκκινος. Ένα μονοπάτι ninja σε ένα ιαπωνικό τρίγωνο είναι μια ακολουθία από κύκλους που προκύπτει ξεκινώντας από την επάνω σειρά, μετά πηγαίνοντας επανειλημμένα από έναν κύκλο σε έναν από τους δύο κύκλους ακριβώς κάτω από αυτόν και τελειώνοντας στην κάτω σειρά. Να βρείτε συναρτήσει του τον μέγιστο ώστε σε κάθε ιαπωνικό τρίγωνο να υπάρχει ένα ninja path που περιέχει τουλάχιστον κόκκινους κύκλους.
Εδώ είναι ένα παράδειγμα ενός ninja path σε ένα ιαπωνικό τρίγωνο για . Πρόβλημα 6: Έστω ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Έστω σημεία στο εσωτερικό του ώστε , , , and
Έστω ότι οι και τέμνονται στο οι and τέμνονται στο και and τέμνονται στο
Να δείξετε ότι αν το τρίγωνο είναι σκαληνό, τότε οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων
and διέρχονται από 2 κοινά σημεία.
Καλή επιτυχία στα μέλη της ελληνικής αποστολής!
τελευταία επεξεργασία από giannis2006 σε Τρί Ιούλ 11, 2023 6:28 pm, έχει επεξεργασθεί 5 φορές συνολικά.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 875
- Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm
-
- Δημοσιεύσεις: 875
- Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm
Re: IMO 2023
Πρόβλημα 2: Έστω η τομή της εσωτερικής διχοτόμου της γωνίας με την και έστω
Είναι Επιπλέον
Οπότε
Εμείς αρκεί να δείξουμε ότι
Αρκεί δηλαδή
Όμως ισχύει ότι
Οπότε τελικά αρκεί
Επομένως από και αρκεί ν.δ.ο:
που ισχύει . (Κόλλησα για 5 λεπτά ...αλλά τελικά το απέδειξα !)
Είναι Επιπλέον
Οπότε
Εμείς αρκεί να δείξουμε ότι
Αρκεί δηλαδή
Όμως ισχύει ότι
Οπότε τελικά αρκεί
Επομένως από και αρκεί ν.δ.ο:
που ισχύει . (Κόλλησα για 5 λεπτά ...αλλά τελικά το απέδειξα !)
τελευταία επεξεργασία από Henri van Aubel σε Κυρ Ιούλ 09, 2023 5:45 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Re: IMO 2023
Παραθέτω τη λύση μου για το , παρεμπιπτώντως αρκετά απλό, Πρόβλημα 1
Ισχύει πως και αφου , συμπεραίνουμε οτι
Αντίστοιχα ισχύει πως
Όμως και επειδη
Κάνοντας χρήση αυτού, βρίσκουμε οτι , λόγω της δεδομένης συνθήκης.
Με ανάλογο τρόπο δείχνουμε ότι και ... και επαγωγικά ,λοιπόν, καταλήγουμε ότι
Αυτό ισχύει αν και μονο αν ο είναι δύναμη πρώτου . Έτσι λοιπόν , για έναν φυσικό ακεραιο, και πρώτο.
Ισχύει πως και αφου , συμπεραίνουμε οτι
Αντίστοιχα ισχύει πως
Όμως και επειδη
Κάνοντας χρήση αυτού, βρίσκουμε οτι , λόγω της δεδομένης συνθήκης.
Με ανάλογο τρόπο δείχνουμε ότι και ... και επαγωγικά ,λοιπόν, καταλήγουμε ότι
Αυτό ισχύει αν και μονο αν ο είναι δύναμη πρώτου . Έτσι λοιπόν , για έναν φυσικό ακεραιο, και πρώτο.
Μπατακόγιας Παναγιώτης
-
- Δημοσιεύσεις: 92
- Εγγραφή: Σάβ Οκτ 23, 2021 1:02 am
- Τοποθεσία: Λάρισα
Re: IMO 2023
Καλή επιτυχία στην ομάδα! Το πιθανότερο να υπάρχουν συντομότερες λύσεις.giannis2006 έγραψε: ↑Σάβ Ιούλ 08, 2023 3:01 pmΠρόβλημα 2: Έστω ένα οξυγώνιο τρίγωνο με . Έστω ο περιγεγραμμένος κύκλος του . Έστω το μέσο του τόξου του που περιέχει το . Η κάθετη από προς τη τέμνει την στο και τέμνει τον ξανά στο . Η ευθεία που διέρχεται από το και είναι παράλληλη στη τέμνει την ευθεία στο . Συμβολίζουμε τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου με . Έστω ότι ο τέμνει ξανά το στο . Αποδείξτε ότι η ευθεία που εφάπτεται στον στο τέμνει την ευθεία στην εσωτερική διχοτόμο γωνίας της γωνίας .
Έστω το μέσο του τόξου .
Αρχικά συνευθειακά. Πράγματι,
Έστω τώρα Θα αποδείξουμε ότι η εφάπτεται στον .
Έστω και .
είναι διάμετρος του (και προφανώς αφού ορθή συνευθειακά).
Ισχυρισμός 1: .
Απόδειξη: και άρα και
Έστω (προφανώς η περιέχει το σημείο αυτό).
Ισχυρισμός 2: .
Απόδειξη: Λογικά βγαίνει με κυνήγι γωνιών αλλά ας πούμε Pascal στο .
Ισχυρισμός 3:
Απόδειξη:
Έστω
Ισχυρισμός 4: ομοκυκλικά.
Απόδειξη: .
Ισχυρισμός 5: .
Απόδειξη: και αφού είναι άρα και αφού έχουμε το ζητούμενο.
Οπότε αφού με έπεται ότι η είναι μεσοπαράλληλη των , συνεπώς .
Άρα το είναι το κέντρο του και
οπότε η εφάπτεται στον όπως θέλαμε.
Γιώργος Κοτσάλης
Re: IMO 2023
giannis2006 έγραψε: ↑Σάβ Ιούλ 08, 2023 3:01 pmΠρόβλημα 4: Έστω διαφορετικοί ανά δύο θετικοί πραγματικοί ώστε ο να είναι ακέραιος για κάθε Να δείξετε ότι
Αρχικά θέλω να ευχηθώ καλά αποτελέσματα στην ομάδα.
Μια λύση για το P4:
,
Χρησιμοποιώντας δυο φορές την παραπάνω παίρνουμε:
Θα δείξουμε χρησιμοποιώντας δύο φορές το πότε ισχύει η ισότητα στην ΑΜ-ΓΜ, ότι η ισότητα δεν μπορεί να ισχύει. Θα πρέπει να ισχύει:
και:
το οποίο είναι άτοπο αφού οι είναι θετικοί και διαφορετικοί. Οπότε αφού η ισότητα δεν μπορεί να ισχύει είναι:
Χρησιμοποιώντας την παραπάνω επαναλαμβανόμενα παίρνουμε:
Ντερέκης Γρηγόρης
Re: IMO 2023
Καλησπέρα στην κοινότητα, εύχομαι καλα αποτελέσματα στην ελληνική ομάδα!
Επιστρέφω μιας και μου φάνηκαν πολύ ενδιεφέροντα τα προβλήματα και θα ήθελα να μοιραστώ μια λύση για το Π2.
Αρχικά να δώσω δυο σκέψεις για τη λύση μου. Το πρώτο που σκέφτηκα ήταν να θεωρήσω την τομή της διχοτόμου της γωνίας με την και να δείξω (το στοιχειώδες) ότι . Όμως δεν βρήκα κάποιο τρόπο (βασικό τουλάχιστον - όπως και ήταν λογικό) να βγει αυτό και ξεκίνησα μια αντίστροφη προσέγγιση, δηλαδή να ξεκινήσω από το και να φτάσω στις ιδιότητες του (ότι δηλαδή ανήκει στον και οτι η εφάπτεται σε αυτόν).
Έστω λοιπόν οτι είναι η τομή της διχοτόμου της γωνίας με την . Εύκολα βγαίνει ότι καθώς (αυτό βγαίνει από την παραλληλία της διαμέτρου από το με την ). Έχοντας αυτό, ορίζω σημείο του Ω τέτοιο ώστε . Δεδομένου ότι , η εφάπτεται του περιγεγραμμένου κύκλου του , και άρα αρκεί να δείξουμε ότι το ανήκει σε αυτόν τον κύκλο.
Θα δείξουμε ότι . Έχουμε ότι καθώς το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Από την άλλη, . Τελικά, μιας και το τρίγωνο είναι ισοσκελές, μέσω των αντίστοιχων τόξων του Ω βρίσκουμε ότι , που εξασφαλίζει το ζητούμενο.
Δεν μπορώ να κρίνω αν είναι δύσκολο ή εύκολο για Π2 (μιας και λείπω καιρό από το χώρο!), αλλά είναι σίγουρα πολύ όμορφο κι αυτό φαίνεται από τις πολλές πιθανές λύσεις που έχουν ήδη προταθει.
Επιστρέφω μιας και μου φάνηκαν πολύ ενδιεφέροντα τα προβλήματα και θα ήθελα να μοιραστώ μια λύση για το Π2.
Αρχικά να δώσω δυο σκέψεις για τη λύση μου. Το πρώτο που σκέφτηκα ήταν να θεωρήσω την τομή της διχοτόμου της γωνίας με την και να δείξω (το στοιχειώδες) ότι . Όμως δεν βρήκα κάποιο τρόπο (βασικό τουλάχιστον - όπως και ήταν λογικό) να βγει αυτό και ξεκίνησα μια αντίστροφη προσέγγιση, δηλαδή να ξεκινήσω από το και να φτάσω στις ιδιότητες του (ότι δηλαδή ανήκει στον και οτι η εφάπτεται σε αυτόν).
Έστω λοιπόν οτι είναι η τομή της διχοτόμου της γωνίας με την . Εύκολα βγαίνει ότι καθώς (αυτό βγαίνει από την παραλληλία της διαμέτρου από το με την ). Έχοντας αυτό, ορίζω σημείο του Ω τέτοιο ώστε . Δεδομένου ότι , η εφάπτεται του περιγεγραμμένου κύκλου του , και άρα αρκεί να δείξουμε ότι το ανήκει σε αυτόν τον κύκλο.
Θα δείξουμε ότι . Έχουμε ότι καθώς το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Από την άλλη, . Τελικά, μιας και το τρίγωνο είναι ισοσκελές, μέσω των αντίστοιχων τόξων του Ω βρίσκουμε ότι , που εξασφαλίζει το ζητούμενο.
Δεν μπορώ να κρίνω αν είναι δύσκολο ή εύκολο για Π2 (μιας και λείπω καιρό από το χώρο!), αλλά είναι σίγουρα πολύ όμορφο κι αυτό φαίνεται από τις πολλές πιθανές λύσεις που έχουν ήδη προταθει.
-
- Δημοσιεύσεις: 875
- Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm
Re: IMO 2023
Έτσι το σκέφτηκα κι εγώ στην αρχή, έχω παρόμοια πρώτη λύση ! Ωστόσο, έδωσα και μια δεύτερη , πιο περίπλοκη για χάρη πλουραλισμού.kalagz έγραψε: ↑Κυρ Ιούλ 09, 2023 5:19 pmΚαλησπέρα στην κοινότητα, εύχομαι καλα αποτελέσματα στην ελληνική ομάδα!
Επιστρέφω μιας και μου φάνηκαν πολύ ενδιεφέροντα τα προβλήματα και θα ήθελα να μοιραστώ μια λύση για το Π2.
Αρχικά να δώσω δυο σκέψεις για τη λύση μου. Το πρώτο που σκέφτηκα ήταν να θεωρήσω την τομή της διχοτόμου της γωνίας με την και να δείξω (το στοιχειώδες) ότι . Όμως δεν βρήκα κάποιο τρόπο (βασικό τουλάχιστον - όπως και ήταν λογικό) να βγει αυτό και ξεκίνησα μια αντίστροφη προσέγγιση, δηλαδή να ξεκινήσω από το και να φτάσω στις ιδιότητες του (ότι δηλαδή ανήκει στον και οτι η εφάπτεται σε αυτόν).
Έστω λοιπόν οτι είναι η τομή της διχοτόμου της γωνίας με την . Εύκολα βγαίνει ότι καθώς (αυτό βγαίνει από την παραλληλία της διαμέτρου από το με την ). Έχοντας αυτό, ορίζω σημείο του Ω τέτοιο ώστε . Δεδομένου ότι , η εφάπτεται του περιγεγραμμένου κύκλου του , και άρα αρκεί να δείξουμε ότι το ανήκει σε αυτόν τον κύκλο.
Θα δείξουμε ότι . Έχουμε ότι καθώς το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Από την άλλη, . Τελικά, μιας και το τρίγωνο είναι ισοσκελές, μέσω των αντίστοιχων τόξων του Ω βρίσκουμε ότι , που εξασφαλίζει το ζητούμενο.
Δεν μπορώ να κρίνω αν είναι δύσκολο ή εύκολο για Π2 (μιας και λείπω καιρό από το χώρο!), αλλά είναι σίγουρα πολύ όμορφο κι αυτό φαίνεται από τις πολλές πιθανές λύσεις που έχουν ήδη προταθει.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13696
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: IMO 2023
Καλή Επιτυχία στην ελληνική αποστολή και Καλά αποτελέσματα!
Υπάρχουν διάφορες παρεμφερείς λύσεις για το Π.2 που βασίζονται σε εγγράψιμα τετράπλευρα και τέμνουσες κύκλου.
Υπάρχουν διάφορες παρεμφερείς λύσεις για το Π.2 που βασίζονται σε εγγράψιμα τετράπλευρα και τέμνουσες κύκλου.
-
- Δημοσιεύσεις: 875
- Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm
Re: IMO 2023
Πιστεύω πως ήταν κάπως έτσι: Το Π2 πολύ εύκολο για ΙΜΟ. Τα Π1,Π2,Π4 εύκολα , το Π3 οκ, το Π5 δύσκολο και το Π6 πολύ δύσκολο .
Καλή επιτυχία και πάλι παιδιά μας !
Καλή επιτυχία και πάλι παιδιά μας !
Re: IMO 2023
Με ποια κριτήρια αποφασίζουμε για το αν ένα πρόβλημα είναι εύκολο ή δύσκολο;Henri van Aubel έγραψε: ↑Κυρ Ιούλ 09, 2023 7:42 pmΠιστεύω πως ήταν κάπως έτσι: Το Π2 πολύ εύκολο για ΙΜΟ. Τα Π1,Π2,Π4 εύκολα , το Π3 οκ, το Π5 δύσκολο και το Π6 πολύ δύσκολο .
Σιλουανός Μπραζιτίκος
-
- Δημοσιεύσεις: 875
- Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm
Re: IMO 2023
Σιλουανε καλησπέρα . Απλά είπα την άποψη μου. Που ακριβώς έχεις ένσταση ;silouan έγραψε: ↑Δευ Ιούλ 10, 2023 6:18 pmΜε ποια κριτήρια αποφασίζουμε για το αν ένα πρόβλημα είναι εύκολο ή δύσκολο;Henri van Aubel έγραψε: ↑Κυρ Ιούλ 09, 2023 7:42 pmΠιστεύω πως ήταν κάπως έτσι: Το Π2 πολύ εύκολο για ΙΜΟ. Τα Π1,Π2,Π4 εύκολα , το Π3 οκ, το Π5 δύσκολο και το Π6 πολύ δύσκολο .
-
- Δημοσιεύσεις: 141
- Εγγραφή: Τρί Φεβ 25, 2014 5:29 pm
Re: IMO 2023
Φαντάζομαι ότι η ένσταση είναι στον τρόπο αξιολόγησης των προβλημάτων. Αυτή η διαδικασία είναι δύσκολη, ιδιαίτερα αν δεν υπάρχουν τα επίσημα αποτελέσματα και αν έχει γίνει από κάποιον που δεν τα έλυνε υπό την πίεση του διαγωνισμού. Τέλος, καλό είναι, ειδικά όταν μας παρακολουθούν οι διαγωνιζόμενοι ή όσοι επιθυμούν τα επόμενα χρόνια να διαγωνιστούν στην ΙΜΟ, όταν αξιολογούμε τα προβλήματα, να αιτιολογήσουμε και για ποιο λόγο τους δίνουμε τον εκάστοτε βαθμό δυσκολίας.Henri van Aubel έγραψε: ↑Δευ Ιούλ 10, 2023 6:21 pmΣιλουανε καλησπέρα . Απλά είπα την άποψη μου. Που ακριβώς έχεις ένσταση ;
Προδρομίδης Κυπριανός-Ιάσων
-
- Δημοσιεύσεις: 875
- Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm
Re: IMO 2023
Εντάξει Ιάσονα (παρεπιπτόντως, συγχαρητήρια για το πρόβλημα της BMO που φτιάξατε με τον Μινο ! ), ωστόσο ποτέ δεν ισχυρίστηκα ότι η άποψη μου είναι αντικειμενική . Μιλάω υποκειμενικά , οπότε δεν βλέπω τον λόγο επίθεσης από τον Σιλουανό , τον οποίο παρεπιπτόντως εκτιμώ ιδιαίτερα !jason.prod έγραψε: ↑Δευ Ιούλ 10, 2023 6:56 pmΦαντάζομαι ότι η ένσταση είναι στον τρόπο αξιολόγησης των προβλημάτων. Αυτή η διαδικασία είναι δύσκολη, ιδιαίτερα αν δεν υπάρχουν τα επίσημα αποτελέσματα και αν έχει γίνει από κάποιον που δεν τα έλυνε υπό την πίεση του διαγωνισμού. Τέλος, καλό είναι, ειδικά όταν μας παρακολουθούν οι διαγωνιζόμενοι ή όσοι επιθυμούν τα επόμενα χρόνια να διαγωνιστούν στην ΙΜΟ, όταν αξιολογούμε τα προβλήματα, να αιτιολογήσουμε και για ποιο λόγο τους δίνουμε τον εκάστοτε βαθμό δυσκολίας.Henri van Aubel έγραψε: ↑Δευ Ιούλ 10, 2023 6:21 pmΣιλουανε καλησπέρα . Απλά είπα την άποψη μου. Που ακριβώς έχεις ένσταση ;
Re: IMO 2023
Δεν ξέρω γιατί αυτό που λέω χαρακτηρίζεται ως επίθεση. Πάντως ένας δείκτης για να συγκρίνουμε την δυσκολία των προβλημάτων είναι ο μέσος όρος που βγαίνει στο τέλος. Και πάλι, δεν τον θεωρώ τελείως ασφαλή δείκτη.
Δύο-τρία στατιστικά μέχρι τώρα:
Πολύ προπονημένες ομάδες, όπως ο Καναδάς και το Ισραήλ, έχουν 2-3 πλήρεις λύσεις στο Π2.
Η Βουλγαρία που είναι παραδοσιακά ισχυρή χώρα, με μεγάλη ευχέρεια στην γεωμετρία, έχει 4 πλήρεις λύσεις.
Δύο-τρία στατιστικά μέχρι τώρα:
Πολύ προπονημένες ομάδες, όπως ο Καναδάς και το Ισραήλ, έχουν 2-3 πλήρεις λύσεις στο Π2.
Η Βουλγαρία που είναι παραδοσιακά ισχυρή χώρα, με μεγάλη ευχέρεια στην γεωμετρία, έχει 4 πλήρεις λύσεις.
Σιλουανός Μπραζιτίκος
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4108
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: IMO 2023
Henri van Aubel έγραψε: ↑Κυρ Ιούλ 09, 2023 7:42 pmΠιστεύω πως ήταν κάπως έτσι: Το Π2 πολύ εύκολο για ΙΜΟ. Τα Π1,Π2,Π4 εύκολα , το Π3 οκ, το Π5 δύσκολο και το Π6 πολύ δύσκολο .
Νομίζω ότι ο Σιλουανός απηύθυνε απλά μία ερώτηση στην οποία δεν πήρε απάντηση αλλά πάλι ερώτηση. Εγώ απλά να αναφέρω ότι η διαδικασία χαρακτηρισμού των προβλημάτων της Shortlist ως εύκολο, εύκολο - μέτριο, μέτριο, μέτριο - δύσκολο, δύσκολο είναι πολύ χρονοβόρα και προκύπτει μετά από αρκετή συζήτηση μεταξύ των αρχηγών και έχει τύχει πολλές φορές τα στατιστικά να διαψεύδουν τελικά τον αρχικό χαρακτηρισμό τους. Συνεπώς οποιοσδήποτε χαρακτηρισμός πριν την έκδοση των αποτελεσμάτων είναι απλά μία αβάσιμη προσωπική εικασία χωρίς να ληφθούν πολλοί παράγοντες υπόψιν ο κυριότερος από τους οποίους είναι η πίεση του χρόνου!Henri van Aubel έγραψε: ↑Δευ Ιούλ 10, 2023 6:21 pmΣιλουανε καλησπέρα . Απλά είπα την άποψη μου. Που ακριβώς έχεις ένσταση ;
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13696
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: IMO 2023
Δίνω μόνο το σχήμα. Το είναι ένα κοινό σημείο των κύκλων. Το άλλο είναι προς τα κάτω και δεν φαίνεται στο σχήμα. Ίσως να έχει απλή επίσημη λύση που δεν το πολυ-πιστεύω (δεν προσπάθησα να τη λύσω), πάντως αν μη τι άλλο είναι "ψαρωτική".giannis2006 έγραψε: ↑Σάβ Ιούλ 08, 2023 3:01 pm
Πρόβλημα 6: Έστω ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Έστω σημεία στο εσωτερικό του ώστε , , , and
Έστω ότι οι και τέμνονται στο οι and τέμνονται στο και and τέμνονται στο
Να δείξετε ότι αν το τρίγωνο είναι σκαληνό, τότε οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων
and διέρχονται από 2 κοινά σημεία.
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1891
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: IMO 2023
Μεγάλη επιτυχία στην 64η Διεθνή Μαθηματική ΟλυμπιάδαAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Τρί Ιούλ 11, 2023 10:54 pmΘερμά συγχαρητήρια στην Ελληνική Ομάδα!!!
Screenshot 2023-07-11 at 22.51.42.png
Ένα χρυσό , ένα αργυρό , τρία χάλκινα και μια εύφημη μνεία ήταν η "συγκομιδή" της ομάδας μας στη φετινή Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα!
Πρόκειται για πολύ μεγάλη επιτυχία, αφού η Ελλάδα μας είναι 6η στην Ευρωπαϊκή Ένωση και στις 25 καλύτερες του κόσμου!
Συνολικά συμμετείχαν 112 χώρες.
Αξίζει να σημειώσουμε ότι:
-το χρυσό μετάλλιο του Γιώργου Τζιαχρήστα είναι το 4ο στην ιστορία του θεσμού για τη χώρα μας,
- το 6ο πρόβλημα γεωμετρίας της φετινής ΙΜΟ το έλυσαν πλήρως μόνο έξι (6) διαγωνιζόμενοι από τους 658 μαθητές.
-ο Κωνσταντίνος Κωνσταντινίδης θα διαγωνιστεί και στη Διεθνή Ολυμπιάδα Φυσικής σε λίγες μέρες στο Τόκυο.
Θερμά συγχαρητήρια στα παιδιά, τον αρχηγό κ. Ανάργυρο Φελλούρη και τον υπαρχηγό της αποστολής, Σιλουανό Μπραζιτίκο!
Ας τονίσουμε για ακόμη μια φορά πως η συμμετοχή και μόνο σε έναν τέτοιο διεθνή διαγωνισμό είναι τεράστια τιμή και επιτυχία για κάθε διαγωνιζόμενο. Η επίλυση και μόνο ενός προβλήματος από τα έξι είναι αξιοσημείωτη!
Ευχόμαστε ότι καλύτερο στη συνέχεια για τον καθένα χωριστά!
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 16307
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες