Θέματα της 7ης τάξης για την 2η φάση, 19 Φεβρουαρίου 2023.
1. Τα κελιά ενός
πίνακα είναι χρωματισμένα με δυο χρώματα. Ο ψύλλος μπορεί να μεταπηδήσει από οποιοδήποτε κελί είτε σε γειτονικό κατά οριζόντια διεύθυνση κελί του ίδιου χρώματος, είτε σε γειτονικό κατά κάθετη διεύθυνση κελί διαφορετικού χρώματος. Είναι γνωστό, ότι ο ψύλλος με τέτοια άλματα μπορεί να μεταβεί από οποιοδήποτε κελί του πίνακα σε οποιοδήποτε άλλο. Να αποδείξετε, ότι τα κελιά κάθε χρώματος του πίνακα είναι ίσα στον αριθμό.2. Οι μαθητές συμμετείχαν σε μια ολυμπιάδα, στην οποία μπορεί κανείς να λάβει ακέραιο αριθμό μορίων από
έως 
. Προέκυψε ότι τα γραπτά με μηδενικό αριθμό μορίων είναι 
φορές περισσότερα από τα τέλεια γραπτά με μόρια. Η επιτροπή της ολυμπιάδας αφαίρεσε όλα τα μηδενικά γραπτά, ως αποτέλεσμα ο μέσος όρος (ο λόγος του αθροίσματος όλων των μορίων των γραπτών προς το πλήθος τους) αυξήθηκε. Ύστερα η επιτροπή παρατήρησε, ότι το ένα έβδομο των γραπτών με μόρια ήταν από αντιγραφή και ο βαθμός σε αυτά μετατράπηκε από σε . Ως αποτέλεσμα ό μέσος όρος επανήλθε στην αρχική του τιμή. Να αποδείξετε, ότι τουλάχιστον 
γραπτά είχαν τον βαθμό 
μόριο. 3. Στο κυρτό πεντάγωνο
τα μήκη όλων των πλευρών είναι ίσα με . Στο εσωτερικό του πενταγώνου βρέθηκε τέτοιο σημείο 
, ώστε 
και 
. Να βρείτε την απόσταση του σημείου 
από την ευθεία 
.4. Στον πίνακα είναι γραμμένος ο αριθμός
. Δυο κάνουν κινήσεις με την σειρά. Με μια κίνηση επιτρέπεται να σβήσουμε οποιοδήποτε αριθμό του πίνακα και στην θέση του να γράψουμε δυο φυσικούς αριθμούς, που στο γινόμενο δίνουν τον σβησμένο. Επιπλέον δεν επιτρέπεται να γράψουμε στον πίνακα τετράγωνα φυσικών αριθμών. Χάνει ο παίκτης που δεν μπορεί να κάνει κίνηση. Ποιος θα κερδίσει αν παίξει σωστά, αυτός που ξεκινάει ή ο αντίπαλός του;Καταληκτική αίθουσα
5. Στην Ήρεμη Τάφρο μπορούν να υπάρξουν δυο ειδών ψάρια: Σακκοφάρυγγες και Χιασμόδοντες. Όταν ένα ψάρι τρώει ένα άλλο, τότε σε αυτό φυτρώνει ένα δόντι (αγκάθι). Ένα ψάρι μπορεί να φάει ψάρι του ίδιου είδους, αν αυτά τα δυο ψάρια στο άθροισμα έχουν άρτιο αριθμό δοντιών. Ένα ψάρι μπορεί να φάει ψάρι του άλλου είδους αν στο άθροισμα έχουν περιττό αριθμό δοντιών. Οι επιστήμονες στην άδεια Ήρεμη Τάφρο τοποθέτησαν νεογέννητα ψάρια χωρίς κανένα δόντι:
σακκοφάρυγγες και 
χιασμόδοντες. Μπορεί άραγε μετά από κάποια χρονική στιγμή στην Ήρεμη Τάφρο να μείνει μόνο ένα ψάρι;6. Σε ισοσκελές τρίγωνο φέρθηκε η διχοτόμος
. Στην βάση του 
σημειώθηκε σημείο 
, στην προέκταση του τμήματος προς το σημείο 
σημείο 
και στην προέκταση της πλευράς 
προς το σημείο 
σημείο 
. Εξάλλου 
, 
και 
. Να αποδείξετε ότι 
.7. Θα ονομάσουμε μια τοποθέτηση φυσικών (μη μηδενικών) αριθμών σε κύκλο διαχωρίσιμη, αν σε κάθε ζεύγος γειτονικών αριθμών ο ένας από αυτούς διαιρείται με τον άλλον. Ο Δημήτρης έγραψε στον κύκλο
φυσικούς αριθμούς, που σχηματίζουν διαχωρίσιμη τοποθέτηση, στην οποία οποιοιδήποτε δυο γειτονικοί αριθμοί είναι διαφορετικοί. Η Όλγα έγραψε μεταξύ κάθε δυο γειτονικών αριθμών του Δημήτρη την απόλυτη τιμή της διαφοράς τους και τους αρχικούς αριθμούς τους έσβησε. Η τοποθέτηση των αριθμών της Όλγας, προέκυψε κι αυτή διαχωρίσιμη. Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός διαφορετικών αριθμών που μπορεί να είχε η τοποθέτηση του Δημήτρη;Πηγή
