ΘΑΛΗΣ 2023
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
-
- Δημοσιεύσεις: 875
- Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm
ΘΑΛΗΣ 2023
Καλημέρα, καλή επιτυχία σε όλα τα παιδιά! Αν θέλει κάποιος, ανεβάζει τα θέματα και τα λύνουμε
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 25
- Εγγραφή: Κυρ Φεβ 19, 2023 10:32 am
- Τοποθεσία: Μεσολόγγι
Re: ΘΑΛΗΣ 2023
Καλημέρα κύριε Κώστα!Έχω μια απορία στο θέμα 3 Α λυκείου το οποίο το παραθέτω:
ΝΑ ΕΞΕΤΑΣΕΤΕ ΑΝ ΥΠΑΡΧΕΙ ΘΕΤΙΚΟΣ ΑΚΕΡΑΙΟΣ n ΤΕΤΟΙΟΣ, ΩΣΤΕ Ο ΑΡΙΘΜΟΣ Α=
ΝΑ ΙΣΟΥΤΑΙ ΜΕ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ ΑΚΕΡΑΙΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ.
ΝΑ ΕΞΕΤΑΣΕΤΕ ΑΝ ΥΠΑΡΧΕΙ ΘΕΤΙΚΟΣ ΑΚΕΡΑΙΟΣ n ΤΕΤΟΙΟΣ, ΩΣΤΕ Ο ΑΡΙΘΜΟΣ Α=
ΝΑ ΙΣΟΥΤΑΙ ΜΕ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ ΑΚΕΡΑΙΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ.
<<Φτάσε όπου δεν μπορείς>>,Νίκος Καζαντζάκης
-
- Δημοσιεύσεις: 25
- Εγγραφή: Κυρ Φεβ 19, 2023 10:32 am
- Τοποθεσία: Μεσολόγγι
Re: ΘΑΛΗΣ 2023
Στην ουσία προσωπίκα πήρα περίπτωση για n =0 όπου Α=2024 ο οποιος δεν είναι τετράγωνο ακέραιου αριθμού. Και μέτα είπα πως στην ουσια για οποιαδήποτε τιμή του n o Α θα είναι πάντα περιττός. Άρα δεν υπάρχει τέτοιος n.( Δεν γνωρίζω καν αν είναι σωστός ο συλογισμός μου απλως τον παραθέτω με λίγα λόγια)
<<Φτάσε όπου δεν μπορείς>>,Νίκος Καζαντζάκης
-
- Δημοσιεύσεις: 25
- Εγγραφή: Κυρ Φεβ 19, 2023 10:32 am
- Τοποθεσία: Μεσολόγγι
Re: ΘΑΛΗΣ 2023
Επίσης, έχω και έναν ενδοιασμό πάνω στο θέμα 4 Α λυκείου.
Σε ένα κύκλο c(O,R) θεωρούμε τα σημεία Α,Β,Γ, και Δ τέτοια ώστε το τετράπλευρο ΑΒΓΔ να είναι ισοσκελές τραπέζιο με ΑΒ//ΔΓ. Έστω Ε το σημείο τομής της διχοτόμου της γωνίας του τραπεζίου με τον κύκλο c(O,R). Αν η παράλληλη από το Ε στην ΔΓ τέμνει την ευθεία ΒΓ στο Ζ, να αποδείξετε ότι η ευθεία ΟΖ είναι κάθετη στην ΕΓ.
Σε ένα κύκλο c(O,R) θεωρούμε τα σημεία Α,Β,Γ, και Δ τέτοια ώστε το τετράπλευρο ΑΒΓΔ να είναι ισοσκελές τραπέζιο με ΑΒ//ΔΓ. Έστω Ε το σημείο τομής της διχοτόμου της γωνίας του τραπεζίου με τον κύκλο c(O,R). Αν η παράλληλη από το Ε στην ΔΓ τέμνει την ευθεία ΒΓ στο Ζ, να αποδείξετε ότι η ευθεία ΟΖ είναι κάθετη στην ΕΓ.
<<Φτάσε όπου δεν μπορείς>>,Νίκος Καζαντζάκης
Re: ΘΑΛΗΣ 2023
Μπορεί ένα τετράγωνο να είναι περιττό, οπότε δεν μπορούμε να αποκλείσουμε τα άλλα n.Παπαδόπουλος Κώστας έγραψε: ↑Σάβ Νοέμ 04, 2023 12:48 pmΣτην ουσία προσωπίκα πήρα περίπτωση για n =0 όπου Α=2024 ο οποιος δεν είναι τετράγωνο ακέραιου αριθμού. Και μέτα είπα πως στην ουσια για οποιαδήποτε τιμή του n o Α θα είναι πάντα περιττός. Άρα δεν υπάρχει τέτοιος n.( Δεν γνωρίζω καν αν είναι σωστός ο συλογισμός μου απλως τον παραθέτω με λίγα λόγια)
Παραθέτω εν συντομία την δική μου λύση στο θέμα.
Έστω α ο αριθμός του οποίου το τετράγωνο είναι το Α.
Με και και
Αφαιρώντας προκύπτει πώς
ή , που οδηγεί στο n=0, άτοπο.
Παίρνοντας στην πρώτη περίπτωση mod5 μετά από πράξεις προκύπτει ότι μόνο το n=2 μπορεί να είναι λύση.
Αλλά το 202301 δεν είναι τέλειο τετράγωνο.
τελευταία επεξεργασία από ∫ot.T. σε Πέμ Νοέμ 09, 2023 10:54 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
«Ο μορφωμένος διαφέρει από τον αμόρφωτο, όπως ο ζωντανός από τον νεκρό.» Αριστοτέλης
Re: ΘΑΛΗΣ 2023
Για το τέταρτο θέμα θα αποδείξουμε ότι ΕΖ = ΖΓ
Παραθέτω το σχήμα μου για βοήθεια.
Παραθέτω το σχήμα μου για βοήθεια.
- Συνημμένα
-
- geogebra-export-3.png (479.99 KiB) Προβλήθηκε 7489 φορές
τελευταία επεξεργασία από ∫ot.T. σε Σάβ Νοέμ 04, 2023 3:53 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
«Ο μορφωμένος διαφέρει από τον αμόρφωτο, όπως ο ζωντανός από τον νεκρό.» Αριστοτέλης
-
- Δημοσιεύσεις: 798
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm
Re: ΘΑΛΗΣ 2023
Καλά είναι να περιμένουμε πριν αναρτήσουμε τα θέματα....Μπορεί η επιτροπή να μην το επιτρέπει!
-
- Δημοσιεύσεις: 875
- Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm
Re: ΘΑΛΗΣ 2023
Στο θέμα Γ έχει ένα θεματάκι η απόδειξη του Σωτήρη. Το δεν είναι πρώτος, οπότε δεν μπορεί να θεωρήσει αυτό που λέει. (υπάρχει απόδειξη σχετικά απλή για την άσκηση αυτή, αλλά όχι για Α λυκείου).
Όσο για την γεωμετρία, μία λύση.
Είναι και από το εγγράψιμο είναι , επομένως
Αν η επιτροπή δεν το επιτρέπει, να αποσύρω την ανάρτηση αμέσως...
Όσο για την γεωμετρία, μία λύση.
Είναι και από το εγγράψιμο είναι , επομένως
Αν η επιτροπή δεν το επιτρέπει, να αποσύρω την ανάρτηση αμέσως...
τελευταία επεξεργασία από Henri van Aubel σε Σάβ Νοέμ 04, 2023 1:43 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Δημοσιεύσεις: 25
- Εγγραφή: Κυρ Φεβ 19, 2023 10:32 am
- Τοποθεσία: Μεσολόγγι
Re: ΘΑΛΗΣ 2023
Στο θέμα 2 Α λυκείου αν θυμάμαι καλά οι παραστάσεις επαληθεύονται για y =-1 και χ=1 ή χ=3 σωστά;
<<Φτάσε όπου δεν μπορείς>>,Νίκος Καζαντζάκης
Re: ΘΑΛΗΣ 2023
ΑκριβώςΠαπαδόπουλος Κώστας έγραψε: ↑Σάβ Νοέμ 04, 2023 1:43 pmΣτο θέμα 2 Α λυκείου αν θυμάμαι καλά οι παραστάσεις επαληθεύονται για y =-1 και χ=1 ή χ=3 σωστά;
«Ο μορφωμένος διαφέρει από τον αμόρφωτο, όπως ο ζωντανός από τον νεκρό.» Αριστοτέλης
-
- Δημοσιεύσεις: 25
- Εγγραφή: Κυρ Φεβ 19, 2023 10:32 am
- Τοποθεσία: Μεσολόγγι
Re: ΘΑΛΗΣ 2023
Καταρχάς Σωτήρη χάρηκα για την γνωριμία. Στο θέμα 1 εκτός από την τιμή 9 τησ παράστασης για α=β=γ βρήκες κάποια άλλη λύση;
<<Φτάσε όπου δεν μπορείς>>,Νίκος Καζαντζάκης
-
- Δημοσιεύσεις: 798
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm
Re: ΘΑΛΗΣ 2023
Βλεπω ότι στο ιντερνετ έχουν ανέβει μέχρι και οι επίσημες λύσεις... Οπότε παραθέτω τα θέματα σε pdf...
- elenipappa
- Δημοσιεύσεις: 10
- Εγγραφή: Πέμ Ιούλ 01, 2021 8:42 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: ΘΑΛΗΣ 2023
Μια λύση για το πρόβλημα 3 Α' Λυκείου
,
Ο Α είναι περιττός, άρα ο α είναι άρτιος
Παρατηρώ ότι ο τελειώνει σε 0. Άρα ο τελειώνει σε 8 και ο σε 0.
Άρα
Άρα
Έτσι, παίρνουμε τις εξής περιπτώσεις:
1)
Τότε
2)
Τότε
3)
Τότε
4)
Τότε
Άτοπο
Σε καμία από τις περιπτώσεις ο τελειώνει σε 8.
Άρα δεν υπάρχει τέτοιος
,
Ο Α είναι περιττός, άρα ο α είναι άρτιος
Παρατηρώ ότι ο τελειώνει σε 0. Άρα ο τελειώνει σε 8 και ο σε 0.
Άρα
Άρα
Έτσι, παίρνουμε τις εξής περιπτώσεις:
1)
Τότε
2)
Τότε
3)
Τότε
4)
Τότε
Άτοπο
Σε καμία από τις περιπτώσεις ο τελειώνει σε 8.
Άρα δεν υπάρχει τέτοιος
τελευταία επεξεργασία από elenipappa σε Σάβ Νοέμ 04, 2023 2:38 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Wer wagt, gewinnt
-
- Δημοσιεύσεις: 20
- Εγγραφή: Κυρ Ιουν 06, 2021 11:41 am
Re: ΘΑΛΗΣ 2023
Λύση για Θέμα 3ο της 3ης λυκείου
Έστω τότε
Το όμως το δεύτερο μέρος τελειώνει σε άρα
πρέπει να τελειώνει σε άρα της μορφής
άρα
άρα
όμως το πρώτο μέλος τελειώνει σε και το δεύτερο
σε άρα δεν υπάρχει τέτοιο
(ΣΗΜΕΙΩΣΗ ΑΠΟ ΕΠΙΜΕΛΗΤΗ (ΙΩΑΝΝΟΥ Δ.): Διόρθωση κώδικα)
Έστω τότε
Το όμως το δεύτερο μέρος τελειώνει σε άρα
πρέπει να τελειώνει σε άρα της μορφής
άρα
άρα
όμως το πρώτο μέλος τελειώνει σε και το δεύτερο
σε άρα δεν υπάρχει τέτοιο
(ΣΗΜΕΙΩΣΗ ΑΠΟ ΕΠΙΜΕΛΗΤΗ (ΙΩΑΝΝΟΥ Δ.): Διόρθωση κώδικα)
-
- Δημοσιεύσεις: 12
- Εγγραφή: Κυρ Απρ 03, 2022 2:44 pm
Re: ΘΑΛΗΣ 2023
Καλησπέρα σας. Έγραφα στης Γ Λυκείου και στο Π2 κατόπιν διευκρίνησης με είπαν ότι δε μας νοιάζει η πολλαπλότητα της κάθε διακεκριμένης ρίζας και η λέξη ακριβώς εχει να κάνει με το πόσες είναι διακεκριμένες. Και έτσι έβγαλα 2020 συντελεστές . (Βέβαια έγραψα και ειδική σημείωση που λέω οτι αμα μας νοιαζει η πολλαπλοτητα τοτε 2019 συντελεστες γτ δε πρεπει να μηδενισουμε τον σταθερο ορο του βοηθητικου πολυωνυμου παράγοντα του αρχικού, και εκει ομως δεν εδωσα πιο ειδικη εξηγηση οτι πρεπει ο μεγιστοβαθμιος συντελεστης να ναι ομοσημος του σταθερου για να μην εχουμε αλλη διακεκριμενη) Πιστεύετε θα με κοψουν τιποτα?
-
- Δημοσιεύσεις: 798
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm
Re: ΘΑΛΗΣ 2023
Καλησπέρα! Η σωστή απάντηση είναι 2022...Giannis Masterio έγραψε: ↑Σάβ Νοέμ 04, 2023 2:33 pmΚαλησπέρα σας. Έγραφα στης Γ Λυκείου και στο Π2 κατόπιν διευκρίνησης με είπαν ότι δε μας νοιάζει η πολλαπλότητα της κάθε διακεκριμένης ρίζας και η λέξη ακριβώς εχει να κάνει με το πόσες είναι διακεκριμένες. Και έτσι έβγαλα 2020 συντελεστές . (Βέβαια έγραψα και ειδική σημείωση που λέω οτι αμα μας νοιαζει η πολλαπλοτητα τοτε 2019 συντελεστες γτ δε πρεπει να μηδενισουμε τον σταθερο ορο του βοηθητικου πολυωνυμου παράγοντα του αρχικού, και εκει ομως δεν εδωσα πιο ειδικη εξηγηση οτι πρεπει ο μεγιστοβαθμιος συντελεστης να ναι ομοσημος του σταθερου για να μην εχουμε αλλη διακεκριμενη) Πιστεύετε θα με κοψουν τιποτα?
-
- Δημοσιεύσεις: 12
- Εγγραφή: Κυρ Απρ 03, 2022 2:44 pm
Re: ΘΑΛΗΣ 2023
Θεώρησα με deg Και ασχολήθηκα με το . Λογικά θα έχασα τους άλλους δυο από το γινόμενο των με να ναι επειδή δεν έκανα τις πράξεις εκεί και αμέλησα να μετρήσω άλλους 2(οι παραπάνω 2 προκύπτουν όπως αντιλαμβάνομαι αν η μια ρίζα είναι το ). Παρόλα αυτά άμα τα υπόλοιπα τα έχω κάνει σωστά πιστεύετε θα πάρω 3 με 4 μόρια από τα 5?Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑Σάβ Νοέμ 04, 2023 3:04 pmΚαλησπέρα! Η σωστή απάντηση είναι 2022...Giannis Masterio έγραψε: ↑Σάβ Νοέμ 04, 2023 2:33 pmΚαλησπέρα σας. Έγραφα στης Γ Λυκείου και στο Π2 κατόπιν διευκρίνησης με είπαν ότι δε μας νοιάζει η πολλαπλότητα της κάθε διακεκριμένης ρίζας και η λέξη ακριβώς εχει να κάνει με το πόσες είναι διακεκριμένες. Και έτσι έβγαλα 2020 συντελεστές . (Βέβαια έγραψα και ειδική σημείωση που λέω οτι αμα μας νοιαζει η πολλαπλοτητα τοτε 2019 συντελεστες γτ δε πρεπει να μηδενισουμε τον σταθερο ορο του βοηθητικου πολυωνυμου παράγοντα του αρχικού, και εκει ομως δεν εδωσα πιο ειδικη εξηγηση οτι πρεπει ο μεγιστοβαθμιος συντελεστης να ναι ομοσημος του σταθερου για να μην εχουμε αλλη διακεκριμενη) Πιστεύετε θα με κοψουν τιποτα?
ΣΗΜΕΙΩΣΗ ΑΠΟ ΕΠΙΜΕΛΗΤΗ(ΙΩΑΝΝΟΥ Δ.): Διόρθωση σε κώδικα.
(Παράκληση προς τα μέλη μας, να μην παραλείπουν τον τονισμό των λέξεων)
τελευταία επεξεργασία από Giannis Masterio σε Σάβ Νοέμ 04, 2023 3:28 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Δημοσιεύσεις: 50
- Εγγραφή: Τρί Απρ 07, 2009 2:18 am
Re: ΘΑΛΗΣ 2023
Γ' Λυκείου/Θέμα 4
Παρατηρώ ότι όταν η γωνία τότε το τετράπλευρο είναι εγγραψίμο καθώς .
Άρα, , και συνεπώς η διχοτομεί τη γωνία .
To τρίγωνο είναι ισοσκελές, άρα η είναι και μεσοκάθετος της .
[ggb=https://www.geogebra.org/classic/fvhrrvz2][/ggb]
Παρατηρώ ότι όταν η γωνία τότε το τετράπλευρο είναι εγγραψίμο καθώς .
Άρα, , και συνεπώς η διχοτομεί τη γωνία .
To τρίγωνο είναι ισοσκελές, άρα η είναι και μεσοκάθετος της .
[ggb=https://www.geogebra.org/classic/fvhrrvz2][/ggb]
τελευταία επεξεργασία από Nick Rapanos σε Σάβ Νοέμ 04, 2023 3:34 pm, έχει επεξεργασθεί 5 φορές συνολικά.
Re: ΘΑΛΗΣ 2023
Βλέποντας τα θέματα παρατηρώ ότι το πρόβλημα 2 της Β' Λυκείου λύνεται γρήγορα, αλλά με χρήση συμβόλου Legendre.
Αφού 2023=πολ7 τότε
Άρα πρέπει να υπάρχει α με
Άτοπο αφού το -1 δεν είναι τετραγωνικό κατάλοιπο του 7.
Όντως
(Έτσι μπορεί να λυθεί το Π3 της Γ' Λυκείου αφού )
Αφού 2023=πολ7 τότε
Άρα πρέπει να υπάρχει α με
Άτοπο αφού το -1 δεν είναι τετραγωνικό κατάλοιπο του 7.
Όντως
(Έτσι μπορεί να λυθεί το Π3 της Γ' Λυκείου αφού )
τελευταία επεξεργασία από ∫ot.T. σε Σάβ Νοέμ 04, 2023 3:51 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
«Ο μορφωμένος διαφέρει από τον αμόρφωτο, όπως ο ζωντανός από τον νεκρό.» Αριστοτέλης
-
- Δημοσιεύσεις: 50
- Εγγραφή: Τρί Απρ 07, 2009 2:18 am
Re: ΘΑΛΗΣ 2023
Γ' Γυμνασίου
1. (αν δεν έχω κάνει κάποιο λάθος..)
2. mod17 και
3. Έστω ότι κανένας από τους αριθμούς δε διαιρείται με το . Τότε καθένας από αυτούς τους αριθμούς θα πρέπει να διαιρείται είτε με το είτε με το και αυτό γιατί αν υπήρχε ένας που δε διαιρούταν ούτε με το ούτε με το , θα μπορούσα να επιλέξω μια τετράδα αριθμών που αποτελείται από αυτόν και τρεις ακόμα αριθμούς με τον ίδιο διαιρέτη (είτε είτε ) και το γινόμενο τους δε θα διαιρούταν με το . Αφού λοιπόν οι αριθμοί είναι και καθένας από τους αριθμούς θα πρέπει να διαιρείται είτε με το είτε με το (αλλά όχι και από το γινόμενο τους), προκύπτει από την Αρχή της Περιστεροφωλιάς ότι τουλάχιστον αριθμοί έχουν τον ίδιο διαιρέτη και συνεπώς το γινόμενό τους δε διαiρείται με το , που είναι άτοπο.
4. Το ΑΕΓΖ είναι παραλληλόγραμμο και η ΑΕ μπορεί να μετρηθεί με εφαρμογή του Πυθαγορείου Θεωρήματος. Εύκολα προκύπτει ότι
. Συνεπώς το ΑΕΓΖ είναι ρόμβος και η διαγώνιος ΕΖ διχοτομεί τη διαγώνιο ΑΓ. Με εφαρμογές του Πυθαγορείου Θεωρήματος προκύπτει ότι
ΣΗΜΕΙΩΣΗ ΑΠΟ ΕΠΙΜΕΛΗΤΗ(ΙΩΑΝΝΟΥ Δ.) Διόρθωση κώδικα
1. (αν δεν έχω κάνει κάποιο λάθος..)
2. mod17 και
3. Έστω ότι κανένας από τους αριθμούς δε διαιρείται με το . Τότε καθένας από αυτούς τους αριθμούς θα πρέπει να διαιρείται είτε με το είτε με το και αυτό γιατί αν υπήρχε ένας που δε διαιρούταν ούτε με το ούτε με το , θα μπορούσα να επιλέξω μια τετράδα αριθμών που αποτελείται από αυτόν και τρεις ακόμα αριθμούς με τον ίδιο διαιρέτη (είτε είτε ) και το γινόμενο τους δε θα διαιρούταν με το . Αφού λοιπόν οι αριθμοί είναι και καθένας από τους αριθμούς θα πρέπει να διαιρείται είτε με το είτε με το (αλλά όχι και από το γινόμενο τους), προκύπτει από την Αρχή της Περιστεροφωλιάς ότι τουλάχιστον αριθμοί έχουν τον ίδιο διαιρέτη και συνεπώς το γινόμενό τους δε διαiρείται με το , που είναι άτοπο.
4. Το ΑΕΓΖ είναι παραλληλόγραμμο και η ΑΕ μπορεί να μετρηθεί με εφαρμογή του Πυθαγορείου Θεωρήματος. Εύκολα προκύπτει ότι
. Συνεπώς το ΑΕΓΖ είναι ρόμβος και η διαγώνιος ΕΖ διχοτομεί τη διαγώνιο ΑΓ. Με εφαρμογές του Πυθαγορείου Θεωρήματος προκύπτει ότι
ΣΗΜΕΙΩΣΗ ΑΠΟ ΕΠΙΜΕΛΗΤΗ(ΙΩΑΝΝΟΥ Δ.) Διόρθωση κώδικα
τελευταία επεξεργασία από Nick Rapanos σε Σάβ Νοέμ 04, 2023 4:51 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: silouan και 3 επισκέπτες