ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 2023 - 2024

[Giannis Masterio]

To Π2 της Γ Λυκείου το αντιμετώπισα χρησιμοποιώντας άτοπα για να δείξω ότι θα πρέπει . Το ξερω πώς είναι εντελώς άκομψο και δεν χρειάζεται δυομισι σελίδες, αλλά θεωρώ ότι πήρα όλα τα άτοπα που χρειαζόταν και θα πάρω το θέμα.
Το Π3 μου φάνηκε αρκετά απλό για θέμα Ευκλείδη. Είμαι στεναχωριμένος που δεν έλυσα το Π4, το οποίο θα μπορούσα να κάνω και έπαιξε ρόλο και η κούραση μετά το Π2. Γενικά θεωρώ ότι το Π4 ήταν πάρα πολύ ωραίο, έξυπνο και ψαρωτικό στην αρχή.
Θεώρω ότι οι διαγωνισμοί της εμε είναι ότι καλύτερο έχει να κάνει στα πλαίσια της Ελληνικής δευτεροβάθμιας εκπάιδευσης ένας μαθητής που ενδιαφέρεται για τα μαθηματικά. Πολλές φορές στο σχολείο εξετάζασαι περισσότερο στο αν έχεις μάθει απ' έξω τις μεθοδολογίες και αν γράφεις γρήγορα, παρά αν καταλαβαίνεις τι γράφεις, και θεωρώ ότι υποβαθμίζει την ομορφία των μαθηματικών.
Καλή επιτυχία σε όσους δώσαμε και καλά αποτελέσματα!

Θα συμφωνήσω μαζί σου. Στο σχολείο και στις πανελλήνιες τα μαθηματικά είναι απλά το μέσο για έναν σκοπό και κυριαρχεί η λογική του να υπάρχουν αριστούχοι που να τα έχουνε όλα 20 ενώ θα έπρεπε ο στόχος να είναι άλλος..

[Nick Rapanos]

Ευτυχώς το κατανόησα νωρίς αυτό, ειδάλλως επειδή πχ στις βαθμολογίες του σχολείου είμαι πολύ ευαίσθητη μπορεί να είχα επηρεαστεί σημαντικά. Δε με ενδιαφέρει να φτάσω σε επίπεδο ολυμπιάδων του εξωτερικού αλλά πραγματικά επιθυμώ να μπορέσω κάποτε να διαγωνιστώ και σε αυτά τα θέματα του Αρχιμήδη και αν κάνω αυτό το ταξίδι στην Αθήνα για τέτοιο σκοπό. Τα ωφέλη δεν είναι οι διακρίσεις το κατανοώ, μα η εκμάθηση διαχείρισης του εαυτού σου και φυσικά η ανάπτυξη της επιστήμης των μαθηματικών.Πηγαινω σε δημόσιο σχολείο και ο καθηγητής των μαθηματικών όταν πήγα να του κάνω ερωτήσεις για βοήθεια με απέφυγε. Για αυτό κατέφυγα τώρα εδώ. Επειδή θέλω να μάθω πως θα αποκτήσω τις εμπειρίες αυτές γιατί ακριβώς αγαπώ τα Μαθηματικά. Δεν είναι δυνατόν να συμμετέχει κάνεις εδώ και να μη τα αγαπά εκτός αν του ασκείται πίεση. Σας ευχαριστώ για τις απαντήσεις σας ειλικρινά.

Έχω παρακολουθήσει εν πολλοις τη συζήτηση και καταλαβαίνω ότι πραγματικά αγαπάς τα Μαθηματικά - αυτό είναι το σημαντικότερο όλων. Υπάρχουν πολλά που θα ήθελα να σχολιάσω, αλλά ίσως κάποια άλλη φορά με άνεση χρόνου. Επι του πρακτέου σου προτείνω τα εξής:

1. Τελείωσε τη σχολική ύλη της χρονιάς σου
2. Διάβασε το βιβλίο Γεωμετρίας του λυκείου
3. Πάρε όλα τα βιβλία των Στεργιου-Μπραζιτικου και άρχισε να μαθαίνεις πράγματα μέσα από αυτα. Δεν είναι μυθιστορήματα, όποτε μην περιμένεις να τα διαβάσεις μέσα σε μερικές εβδομάδες ή μηνες.
4. Θεωρία Αριθμών να μη διαβάσεις από το βιβλίο της Β Λυκείου - ξεκίνησε από το κλασικό βιβλίο της ΕΜΕ.
5. Συνέχισε να συμμετέχεις στο φόρουμ.
6. Μην πτοείσαι και μη θυμώνεις αν ο Μαθηματικός του σχολείου σου δεν μπορεί να σε βοηθήσει. Η γνώση είναι προσωπική κατάκτηση στο τέλος της μέρας.

[mick7]

Ναι όλα αυτά που προτείνεις για τον μαθητή προϋποθέτουν οτι μπορεί να ανταποκριθεί. Δεν είμαστε όλοι σαν τον Σιλουανο.
Νομίζω είναι και λίγο απάτη να παριστάνεις κάποιον που δεν είσαι.
Το αναφέρει και ο δημιουργός του AoPS στο παρακάτω άρθρο :

https://artofproblemsolving.com/blog/ar ... mpetitions

Έχω παρακολουθήσει εν πολλοις τη συζήτηση και καταλαβαίνω ότι πραγματικά αγαπάς τα Μαθηματικά - αυτό είναι το σημαντικότερο όλων. Υπάρχουν πολλά που θα ήθελα να σχολιάσω, αλλά ίσως κάποια άλλη φορά με άνεση χρόνου. Επι του πρακτέου σου προτείνω τα εξής:

1. Τελείωσε τη σχολική ύλη της χρονιάς σου
2. Διάβασε το βιβλίο Γεωμετρίας του λυκείου
3. Πάρε όλα τα βιβλία των Στεργιου-Μπραζιτικου και άρχισε να μαθαίνεις πράγματα μέσα από αυτα. Δεν είναι μυθιστορήματα, όποτε μην περιμένεις να τα διαβάσεις μέσα σε μερικές εβδομάδες ή μηνες.
4. Θεωρία Αριθμών να μη διαβάσεις από το βιβλίο της Β Λυκείου - ξεκίνησε από το κλασικό βιβλίο της ΕΜΕ.
5. Συνέχισε να συμμετέχεις στο φόρουμ.
6. Μην πτοείσαι και μη θυμώνεις αν ο Μαθηματικός του σχολείου σου δεν μπορεί να σε βοηθήσει. Η γνώση είναι προσωπική κατάκτηση στο τέλος της μέρας.

[AnnM]

Χίλια συγγνώμη αν κάνω λάθος, αλλά καθώς το σχόλιο αυτό αποτελεί απάντηση που απευθύνεται σε εμένα,
βέβαια επειδή το φόρουμ είναι δημόσιο απευθύνεται γενικότερα σε όλους, ελπίζω να μην υπονοείς οτι παριστάνω κάτι που δεν είμαι. Κοίτα ταλέντο δεν είμαι σίγουρα, ούτε προσπαθώ να πείσω τον κόσμο ότι είμαι κάτι τέτοιο. Οσον αφορα στην ανταπόκριση, απο το δημοτικό απασχολούμαι με ταυτόχρονη μελέτη φυσικής ανώτερου επιπέδου και από πέρυσι έχω ξεκινήσει να προχωράω μονη μου στα μαθηματικά της τάξης μου. Ενημερώθηκα λίγο αργα για το τί ειναι τα διαγωνιστικά μαθηματικά. Για να ζητώ τόσο έντονα πηγές ( και επειδή μου έχουν προταθεί πάρα πολλες ευχαριστώ γι ακόμη μία φορά) προφανώς έχω αποφασίσει να εξασκηθώ. Αμα δω ότι δεν μπορώ να ανταποκριθώ, θα κάνω κάποια βήματα πίσω. Το να ανοιξει κανεις 10 πηγές αφού αγαπάει την ενασχόληση με ένα αντικείμενο και να προσπαθήσει, δεν νομιζω ότι τον κάνει να υποκρίνεται κάτι που δεν είναι.Και πάλι συγγνώμη αν δεν κατανόησα καλά.


[quote=mick7 post_id=364202 time=1706016506 user_id=15224]
Ναι όλα αυτά που προτείνεις για τον μαθητή προϋποθέτουν οτι μπορεί να ανταποκριθεί. Δεν είμαστε όλοι σαν τον Σιλουανο.
Νομίζω είναι και λίγο απάτη να παριστάνεις κάποιον που δεν είσαι.
Το αναφέρει και ο δημιουργός του AoPS στο παρακάτω άρθρο :

[url]https://artofproblemsolving.com/blog/ar ... mpetitions[/url]



[quote="Nick Rapanos" post_id=364198 time=1706012827 user_id=793]
Έχω παρακολουθήσει εν πολλοις τη συζήτηση και καταλαβαίνω ότι πραγματικά αγαπάς τα Μαθηματικά - αυτό είναι το σημαντικότερο όλων. Υπάρχουν πολλά που θα ήθελα να σχολιάσω, αλλά ίσως κάποια άλλη φορά με άνεση χρόνου. Επι του πρακτέου σου προτείνω τα εξής:

1. Τελείωσε τη σχολική ύλη της χρονιάς σου
2. Διάβασε το βιβλίο Γεωμετρίας του λυκείου
3. Πάρε όλα τα βιβλία των Στεργιου-Μπραζιτικου και άρχισε να μαθαίνεις πράγματα μέσα από αυτα. Δεν είναι μυθιστορήματα, όποτε μην περιμένεις να τα διαβάσεις μέσα σε μερικές εβδομάδες ή μηνες.
4. Θεωρία Αριθμών να μη διαβάσεις από το βιβλίο της Β Λυκείου - ξεκίνησε από το κλασικό βιβλίο της ΕΜΕ.
5. Συνέχισε να συμμετέχεις στο φόρουμ.
6. Μην πτοείσαι και μη θυμώνεις αν ο Μαθηματικός του σχολείου σου δεν μπορεί να σε βοηθήσει. Η γνώση είναι προσωπική κατάκτηση στο τέλος της μέρας.
[/quote]
[/quote]

[AnnM]

[quote="Nick Rapanos" post_id=364198 time=1706012827 user_id=793]
[quote=AnnM post_id=364176 time=1705951302 user_id=19689]
Ευτυχώς το κατανόησα νωρίς αυτό, ειδάλλως επειδή πχ στις βαθμολογίες του σχολείου είμαι πολύ ευαίσθητη μπορεί να είχα επηρεαστεί σημαντικά. Δε με ενδιαφέρει να φτάσω σε επίπεδο ολυμπιάδων του εξωτερικού αλλά πραγματικά επιθυμώ να μπορέσω κάποτε να διαγωνιστώ και σε αυτά τα θέματα του Αρχιμήδη και αν κάνω αυτό το ταξίδι στην Αθήνα για τέτοιο σκοπό. Τα ωφέλη δεν είναι οι διακρίσεις το κατανοώ, μα η εκμάθηση διαχείρισης του εαυτού σου και φυσικά η ανάπτυξη της επιστήμης των μαθηματικών.Πηγαινω σε δημόσιο σχολείο και ο καθηγητής των μαθηματικών όταν πήγα να του κάνω ερωτήσεις για βοήθεια με απέφυγε. Για αυτό κατέφυγα τώρα εδώ. Επειδή θέλω να μάθω πως θα αποκτήσω τις εμπειρίες αυτές γιατί ακριβώς αγαπώ τα Μαθηματικά. Δεν είναι δυνατόν να συμμετέχει κάνεις εδώ και να μη τα αγαπά εκτός αν του ασκείται πίεση. Σας ευχαριστώ για τις απαντήσεις σας ειλικρινά.
[/quote]

Έχω παρακολουθήσει εν πολλοις τη συζήτηση και καταλαβαίνω ότι πραγματικά αγαπάς τα Μαθηματικά - αυτό είναι το σημαντικότερο όλων. Υπάρχουν πολλά που θα ήθελα να σχολιάσω, αλλά ίσως κάποια άλλη φορά με άνεση χρόνου. Επι του πρακτέου σου προτείνω τα εξής:

1. Τελείωσε τη σχολική ύλη της χρονιάς σου
2. Διάβασε το βιβλίο Γεωμετρίας του λυκείου
3. Πάρε όλα τα βιβλία των Στεργιου-Μπραζιτικου και άρχισε να μαθαίνεις πράγματα μέσα από αυτα. Δεν είναι μυθιστορήματα, όποτε μην περιμένεις να τα διαβάσεις μέσα σε μερικές εβδομάδες ή μηνες.
4. Θεωρία Αριθμών να μη διαβάσεις από το βιβλίο της Β Λυκείου - ξεκίνησε από το κλασικό βιβλίο της ΕΜΕ.
5. Συνέχισε να συμμετέχεις στο φόρουμ.
6. Μην πτοείσαι και μη θυμώνεις αν ο Μαθηματικός του σχολείου σου δεν μπορεί να σε βοηθήσει. Η γνώση είναι προσωπική κατάκτηση στο τέλος της μέρας.
[/quote]

Ευχαριστώ θερμότατα. Πραγματικά κάθε φορά που ανοίγω να διαβάσω-λύσω νέα μαθηματικα ενθουσιαζομαι πάρα πολυ.

[Nick Rapanos]

Ναι όλα αυτά που προτείνεις για τον μαθητή προϋποθέτουν οτι μπορεί να ανταποκριθεί. Δεν είμαστε όλοι σαν τον Σιλουανο.
Νομίζω είναι και λίγο απάτη να παριστάνεις κάποιον που δεν είσαι.
Το αναφέρει και ο δημιουργός του AoPS στο παρακάτω άρθρο :

https://artofproblemsolving.com/blog/ar ... mpetitions

Έχω παρακολουθήσει εν πολλοις τη συζήτηση και καταλαβαίνω ότι πραγματικά αγαπάς τα Μαθηματικά - αυτό είναι το σημαντικότερο όλων. Υπάρχουν πολλά που θα ήθελα να σχολιάσω, αλλά ίσως κάποια άλλη φορά με άνεση χρόνου. Επι του πρακτέου σου προτείνω τα εξής:

1. Τελείωσε τη σχολική ύλη της χρονιάς σου
2. Διάβασε το βιβλίο Γεωμετρίας του λυκείου
3. Πάρε όλα τα βιβλία των Στεργιου-Μπραζιτικου και άρχισε να μαθαίνεις πράγματα μέσα από αυτα. Δεν είναι μυθιστορήματα, όποτε μην περιμένεις να τα διαβάσεις μέσα σε μερικές εβδομάδες ή μηνες.
4. Θεωρία Αριθμών να μη διαβάσεις από το βιβλίο της Β Λυκείου - ξεκίνησε από το κλασικό βιβλίο της ΕΜΕ.
5. Συνέχισε να συμμετέχεις στο φόρουμ.
6. Μην πτοείσαι και μη θυμώνεις αν ο Μαθηματικός του σχολείου σου δεν μπορεί να σε βοηθήσει. Η γνώση είναι προσωπική κατάκτηση στο τέλος της μέρας.

Το τι είναι ταλέντο και τι είναι απάτη ας το αφήσουμε για άλλο thread. Εγώ απάντησα σε έναν μαθητή που ζητούσε καθοδήγηση και φαίνεται ότι του αρέσουν τα Μαθηματικά. Τώρα το που μπορεί να φτάσει και ποσο θέλει να προσπαθήσει, νομίζω δε θα το κρίνουμε εμείς. Πάντως οταν ο Σιλουανος κι εγώ ήμασταν στη θέση αυτού του μαθητή και ζητούσαμε καθοδήγηση βρέθηκαν κάποιοι στο δρόμο μας και μας βοήθησαν να πάμε ένα βήμα παραπέρα.

[S.E.Louridas]

Επιτρέψτε μου να συγχαρώ όλους τους συμμετέχοντες διαγωνιζόμενους και στον διαγωνισμό αυτό, αφού η συμμετοχή τους αυτή καθ΄ αυτή είναι μία απάντηση στη πρόκληση των καιρών και αυτό έχει τη σημασία του. Ιδιαίτερα συγχαρητήρια στους επιτυχόντες και καλή συνέχεια στο δύσκολο αλλά πανέμορφο αυτό οδοιπορικό. Τα θέματα ήταν κατά την άποψη πάρα πολύ καλά, αν λάβουμε ταυτόχρονα υπόψη και τα δεδομένα της εποχής. Όταν πάμε να κριτικάρουμε τους θεματοδότες (όσο με αφορά ήμουν επί σειρά ετών) καλό θα είναι να έρθουμε για λίγο στη θέση τους, αφού θα πρέπει να συνδυάσουν μέσω των θεμάτων την ισορροπία μεταξύ των δεδομένων της μαθηματικής παιδείας της χώρας, του να έχουν βαθμό πρωτοτυπίας, του να μην απογοητεύσουν τους διαγωνιζόμενους αλλά ταυτόχρονα να φανούν και τα ταλέντα ή τελικά και εκείνοι που αγαπούν τα μαθηματικά, να εμπνεύσουν τα θέματα, να κατευθύνουν και τόσα άλλα. Ναι οι θεματοδότες θέλουν επιστημονικές προτάσεις για βελτίωση του περιβάλλοντος των διαγωνισμών αυτών και γιατί όχι και καλόπιστη κριτική. Ας δούμε λοιπόν τη συνέχεια με βάση κύρια το υλικό της Ε.Μ.Ε. (καθ' ύλη αρμόδια) αρχίζοντας από εκείνο που είναι και δωρεάν, του mathematica που επίσης είναι ποιοτικό και δωρεάν και όπου εδώ μέσω των μαθηματικών διαλόγων αναδεικνύεται ένα επιστημονικό μαθηματικό περιβάλλον ποιότητας και πλουραλισμού και βέβαια όπου συμμετέχουν στο διάλογο αυτό επιπλέον και διαγωνιζόμενοι αλλά και διδάσκοντες τους, αλλά σίγουρα σίγουρα και των καλών βοηθημάτων που στη πατρίδα κυκλοφορούν.

[mick7]

Το σχόλιο δεν αφορούσε εσένα...Γενικά μιλούσα...Καλή επιτυχία στην ενασχόληση με τα Μαθηματικά...

Υγ...Επειδή ψάχνεις υλικό δες και τα περιοδικά Ευκλείδης Α και Β που εκδίδει η ίδια η ΕΜΕ και υπάρχει στήλη για διαγωνισμούς.

Χίλια συγγνώμη αν κάνω λάθος, αλλά καθώς το σχόλιο αυτό αποτελεί απάντηση που απευθύνεται σε εμένα,

[Giannis Masterio]

Αν και αργά έχω την απορία, καλοπροαίρετα πάντα. Υπάρχει κάποιος λόγος που έχει αυξηθεί κατά πολύ η συχνότητα εμφάνισης μη γραμμικών συστημάτων σε διαγωνισμούς της Εμε τα τελευταία χρόνια; Εικάζω οτι αυτό γίνεται για να μην ευνοούνται όσοι έχουν ειδικές γνώσεις θεωρίας σε Κλασσικές Ανισότητες και ειδικες τεχνικές σε συναρτησιακες και ακολουθίες που δεν τις έχουν οι άλλοι.

[Τσιαλας Νικολαος]

Αν και αργά έχω την απορία, καλοπροαίρετα πάντα. Υπάρχει κάποιος λόγος που έχει αυξηθεί κατά πολύ η συχνότητα εμφάνισης μη γραμμικών συστημάτων σε διαγωνισμούς της Εμε τα τελευταία χρόνια; Εικάζω οτι αυτό γίνεται για να μην ευνοούνται όσοι έχουν ειδικές γνώσεις θεωρίας σε Κλασσικές Ανισότητες και ειδικες τεχνικές σε συναρτησιακες και ακολουθίες που δεν τις έχουν οι άλλοι.

Καλημέρα! Αν και δεν ξέρω αν υπάρχει απάντηση στο ερώτημα σου, πιστεύω ότι τα μη γραμμικά συστήματα "ταιριάζουν" σε Θαλή και Ευκλείδη. Όλα τα άλλα που αναφέρεις είναι περισσότερο για Αρχιμήδη + λόγω δυσκολίας.

[Αλκυόνη Παπαδάκη]

Καλησπέρα σας!! Ήθελα να κάνω μια ερώτηση όσον αφορά τα θέματα του Ευκλείδη της Β γυμνασίου.. εγώ τα έλυσα όλα τα θέματα σωστά εκτός από το 4β που δεν κατάφερα να το λύσω... Έγραψα όμως ότι οι αριθμοί Μ κ ν είναι διαιρέτες του 2024 και έκανα αντικατάσταση του 2024 με το γινόμενο πρώτων παραγόντων του... Γενικώς , πιστεύετε πως με ένα 18 θα περάσω αν λάβουμε υπόψην ότι περνάνε περίπου 100 άτομα κ ότι τα θέματα φέτος ήταν εύκολα σχετικά;;; Ακόμη, εσείς πώς τα πήγατε και πόσο πιστεύετε θα κυμανθούν οι βάσεις;;;

[Λευτέρης Παπανικολάου]

Εναλλακτικές λύσεις στο 2ο και 4ο πρόβλημα της Α Λυκείου, καθώς και στο 4ο πρόβλημα της Β Λυκείου

[achilleas]

Μια λύση για το 4ο Πρόβλημα της Β Λυκείου, εμπνευσμένη από ημιτελή λύση διαγωνιζόμενου.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4. Από όλα τα ζεύγη θετικών ακέραιων που ικανοποιούν τη εξίσωση , να βρείτε το ζεύγος με το μικρότερο δυνατό .

Λύση. Έστω το ζητούμενο ζεύγος θετικών ακέραιων τέτοιο ώστε .

Τότε και άρα . Διακρίνουμε περιπτώσεις για τη διαφορά .

1) . Τότε προκύπτει η εξίσωση (1) με διακρίνουσα , που δεν είναι τέλειο τετράγωνο (αφού λήγει σε 7) κι άρα η εξίσωση (1) δεν έχει ακέραιες ρίζες.

2) . Τότε προκύπτει η εξίσωση (2) με διακρίνουσα , που δεν είναι τέλειο τετράγωνο (αφού ), κι άρα η εξίσωση (2) δεν έχει ακέραιες ρίζες.

3) . Τότε προκύπτει η εξίσωση (3) με διακρίνουσα , που δεν είναι τέλειο τετράγωνο (αφού λήγει σε 7) κι άρα η εξίσωση (3) δεν έχει ακέραιες ρίζες.

4) . Τότε προκύπτει η εξίσωση (4) με διακρίνουσα , και ρίζες και .

Άρα .

Αρκεί να δείξουμε ότι αν , τότε . Πράγματι, τότε έχουμε



η οποία γράφεται ισοδύναμα

.

Αφού , έπεται ότι , όπως θέλαμε.

Άρα η ελάχιστη ζητούμενη τιμή για το είναι το .

Φιλικά,

Αχιλλέας

[Παπαδόπουλος Κώστας]

Καλησπέρα! Υπάρχει κάποια ενημέρωση για το πότε θα βγουν τα αποτελέσματα;

[achilleas]

Καλησπέρα! Υπάρχει κάποια ενημέρωση για το πότε θα βγουν τα αποτελέσματα;

Δείτε εδώ.

[Τσιαλας Νικολαος]

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά!!! Ελπίζω ο Αρχιμήδης να γίνει Αθήνα για να γίνει η "γιορτή" όπως της αρμόζει!!!

[Mihalis_Lambrou]

Δείτε εδώ.

Τα θερμά μου συγχαρητήρια στα παιδιά που διακρίθηκαν.

Ειδικά θέλω να εκφράσω τα συγχαρητήριά μου στο μέλος μας Ορέστη Λιγνό για την διάκρισή του.

Παρακαλώ όσους γνωρίζουν και άλλα μέλη μας ανάμεσα στους διακριθέντες, ας βάλουν εδώ μια σημείωση.

[silouan]

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά!!! Ελπίζω ο Αρχιμήδης να γίνει Αθήνα για να γίνει η "γιορτή" όπως της αρμόζει!!!

Έχει ανακοινωθεί από τον Ιούνιο ότι θα γίνει κατά τόπους. http://www.hms.gr/sites/default/files/s ... %20EME.pdf

[Τσιαλας Νικολαος]

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά!!! Ελπίζω ο Αρχιμήδης να γίνει Αθήνα για να γίνει η "γιορτή" όπως της αρμόζει!!!

Έχει ανακοινωθεί από τον Ιούνιο ότι θα γίνει κατά τόπους. http://www.hms.gr/sites/default/files/s ... %20EME.pdf

[george visvikis]

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά που διακρίθηκαν
Καλή συνέχεια στον Αρχιμήδη