ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
Συντονιστές: cretanman, ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ, socrates
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4108
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
Καλημέρα σε όλους,
Στη δημοσίευση αυτή θα αναρτηθούν και θα συζητηθούν τα θέματα του διαγωνισμού "Ο ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ" που διεξάγεται σήμερα στα κατά τόπους εξεταστικά κέντρα της χώρας και μετά τη λήξη του διαγωνισμού. Εύχομαι καλή επιτυχία και καλά αποτελέσματα στα παιδιά που συμμετέχουν!
Edit (14:45) Ανεβάζω τα θέματα μια και έχει ολοκληρωθεί ο διαγωνισμός.
Στη δημοσίευση αυτή θα αναρτηθούν και θα συζητηθούν τα θέματα του διαγωνισμού "Ο ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ" που διεξάγεται σήμερα στα κατά τόπους εξεταστικά κέντρα της χώρας και μετά τη λήξη του διαγωνισμού. Εύχομαι καλή επιτυχία και καλά αποτελέσματα στα παιδιά που συμμετέχουν!
Edit (14:45) Ανεβάζω τα θέματα μια και έχει ολοκληρωθεί ο διαγωνισμός.
- Συνημμένα
-
- Λύκειο_εκφωνήσεις 2024_τελικό.pdf
- (135.38 KiB) Μεταφορτώθηκε 773 φορές
-
- Γυμνάσιο_εκφωνήσεις 2024_τελικό.pdf
- (135.83 KiB) Μεταφορτώθηκε 1093 φορές
Αλέξανδρος Συγκελάκης
Λέξεις Κλειδιά:
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1888
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
Μεγάλοι
Πρόβλημα 1 Αν οι είναι πραγματικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε δύο από αυτούς να έχουν διαφορά μεγαλύτερη του , να αποδείξετε ότι υπάρχει ακέραιος αριθμός , ώστε .
Λύση. Εξετάζουμε το δευτεροβάθμιο τριώνυμο
, η διακρίνουσά του διαδοχικά γράφεται
Εφόσον οι αριθμοί δεν είναι όλοι ίσοι μεταξύ τους θα είναι . Άρα η εξίσωση θα έχει δυο διαφορετικές ρίζες και επειδή ο συντελεστής του δευτεροβάθμιου όρου είναι θετικός το τριώνυμο μεταξύ των ριζών θα είναι αρνητικό.
Το μήκος του διαστήματος που ορίζουν οι ρίζες του τριωνύμου είναι ίσο με και εφόσον η διαφορά κάποιων εκ των είναι μαγαλύτερη του , θα είναι
.
Σε διάστημα μήκους μεγαλυτερου του όμως, θα βρεθεί πάντα ένας ακέραιος.
Πρόβλημα 1 Αν οι είναι πραγματικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε δύο από αυτούς να έχουν διαφορά μεγαλύτερη του , να αποδείξετε ότι υπάρχει ακέραιος αριθμός , ώστε .
Λύση. Εξετάζουμε το δευτεροβάθμιο τριώνυμο
, η διακρίνουσά του διαδοχικά γράφεται
Εφόσον οι αριθμοί δεν είναι όλοι ίσοι μεταξύ τους θα είναι . Άρα η εξίσωση θα έχει δυο διαφορετικές ρίζες και επειδή ο συντελεστής του δευτεροβάθμιου όρου είναι θετικός το τριώνυμο μεταξύ των ριζών θα είναι αρνητικό.
Το μήκος του διαστήματος που ορίζουν οι ρίζες του τριωνύμου είναι ίσο με και εφόσον η διαφορά κάποιων εκ των είναι μαγαλύτερη του , θα είναι
.
Σε διάστημα μήκους μεγαλυτερου του όμως, θα βρεθεί πάντα ένας ακέραιος.
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Σάβ Φεβ 24, 2024 6:32 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
Να λυθεί και το ακόλουθο
Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Σάβ Φεβ 24, 2024 3:20 pm
Πρόβλημα 1 Αν οι είναι πραγματικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε δύο από αυτούς να έχουν διαφορά μεγαλύτερη του , να αποδείξετε ότι υπάρχει ακέραιος αριθμός , ώστε .
Σιλουανός Μπραζιτίκος
-
- Δημοσιεύσεις: 12
- Εγγραφή: Κυρ Απρ 03, 2022 2:44 pm
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
Πολύ ωραίο το Π1 των μεγάλων, δεν απαιτούσε ουρανοκατέβατα τεχνάσματα, μια λογική ιδέα και έβγαινε
-
- Δημοσιεύσεις: 13
- Εγγραφή: Σάβ Φεβ 24, 2024 3:51 pm
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
Καλησπέρα και συγχαρητήρια σε όλους.Υπάρχει λύση για το θέμα 4 των μικρών τάξεων;;
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1888
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
Μεγάλοι
Πρόβλημα 2 Δίνεται τρίγωνο με , εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο το σημείο . Θεωρούμε το κύκλο που έχει κέντρο σημείο , το οποίο ανήκει στον κύκλο , και εφάπτεται στη πλευρά στο σημείο και στη προέκταση της πλευράς στο σημείο . Οι κύκλοι και τέμνονται στα σημεία και (το σημείο βρίσκεται στο εσωτερικό του τριγώνου ). Αν η ευθεία τέμνει τις ευθείες και στα σημεία και , αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.
Λύση Εφόσον το σημείο ισαπέχει από από τις ευεθέιες και και είναι σημείο του , θα είναι το μέσο του τόξου . Άρα . Όμως , αφού είναι διάκεντρος των κύκλων , . Οπότε είναι .
Από την πάραπάνω παραλληλία έχουμε
Το τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο και έστω ο περιγεγραμμένος κύκλος του. Οι κύκλοι , και τέμνονται ανά δυο, οπότε οι χορδές που ορίζουν τα σημεία τομής τους, συντρέχουν. Δηλαδή το σημείο , που είναι το σημείο τομής των , θα ανήκει και στην ευθεία .
Όμως η ευθεία είναι διχοτόμος της γωνίας . Άρα , οπότε το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.
Πρόβλημα 2 Δίνεται τρίγωνο με , εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο το σημείο . Θεωρούμε το κύκλο που έχει κέντρο σημείο , το οποίο ανήκει στον κύκλο , και εφάπτεται στη πλευρά στο σημείο και στη προέκταση της πλευράς στο σημείο . Οι κύκλοι και τέμνονται στα σημεία και (το σημείο βρίσκεται στο εσωτερικό του τριγώνου ). Αν η ευθεία τέμνει τις ευθείες και στα σημεία και , αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.
Λύση Εφόσον το σημείο ισαπέχει από από τις ευεθέιες και και είναι σημείο του , θα είναι το μέσο του τόξου . Άρα . Όμως , αφού είναι διάκεντρος των κύκλων , . Οπότε είναι .
Από την πάραπάνω παραλληλία έχουμε
Το τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο και έστω ο περιγεγραμμένος κύκλος του. Οι κύκλοι , και τέμνονται ανά δυο, οπότε οι χορδές που ορίζουν τα σημεία τομής τους, συντρέχουν. Δηλαδή το σημείο , που είναι το σημείο τομής των , θα ανήκει και στην ευθεία .
Όμως η ευθεία είναι διχοτόμος της γωνίας . Άρα , οπότε το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.
-
- Δημοσιεύσεις: 22
- Εγγραφή: Τετ Φεβ 24, 2021 6:09 pm
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
Για το 2 των μεγάλων έστω ότι η FD τέμνει την BC στο Σ και ότι η παράλληλη από το Β προς την EF τέμνει την DF στο P.Τότε από την παραλληλία και από το BE=BF προκύπτει ότι οι BP και BD είναι εσωτερική και εξωτερική διχοτόμος του ΣBF άρα σχηματίζουν γωνία 90 μοιρών άρα FMD ορθή.Επομένως τα B,M,D συνευθειακά .Επιπλέον η διάκεντρος μεσοκάθετος κοινής χορδής άρα το τόξο DK ισούται με το τόξο DG.Αρκει <BMK=<BCN που εύκολα προκύπτει από τις ισότητες των τόξων.
τελευταία επεξεργασία από petrosmani σε Σάβ Φεβ 24, 2024 5:47 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Δημοσιεύσεις: 13
- Εγγραφή: Σάβ Φεβ 24, 2024 3:51 pm
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
Καλησπέρα!Πως τα βρήκατε τα θέματα στους μικρούς;Που κυμαίνονται περίπου οι βάσεις;Πιστέυω οτι τα θέματα ήταν πιο δύσκολα από άλλες χρονιές.Εγώ πιστεύω οτι έλυσα το πρώτο θέμα σωστό.Το 2ο δεν το αγγιξα και το 3ο που πιστευω οτι πολλοι εχουν μπερδευτει βρήκα οτι οι διαιρέτες δεν είναι ισοπληθείς οπότε μπορεί να έχω πάρει 2/5 αφού ο τρόπος σκέψης είναι σωστός..Στην θεωρία αριθμών δεν έχω καταλώξει ακομα σε λύση αν και το προφανές είναι η συμμετρία στην εξίσωση.
-
- Δημοσιεύσεις: 2
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 27, 2024 10:49 am
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
Προσωπικά τα θέματα των μικρών τάξεων μου φάνηκαν αρκετά απαιτητικα αλλά πολύ ωραια.. Θα μπορούσε κάποιος να μ στείλει τις λύσεις των θεμάτων γιατί δεν τις βρίσκω;; Ευχαριστώ πολύ !
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
Οπότε για να είναι εγγράψιμο θα πρέπει τα να είναι συνευθειακα.
Έστω το μεσο της θα δείξουμε ότι συνευθειακα.
Αρκει:
που ισχύει αφού ισοσκελές τραπέζιο
- Συνημμένα
-
- geogebra-export (7).png (702.17 KiB) Προβλήθηκε 12218 φορές
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
Ας είναι λύση της εξίσωσης, δηλαδή .Ilovemath156 έγραψε: ↑Σάβ Φεβ 24, 2024 3:56 pmΚαλησπέρα και συγχαρητήρια σε όλους.Υπάρχει λύση για το θέμα 4 των μικρών τάξεων;;
Τότε .
Θέτουμε . Είναι σαφές ότι ρίζα του αν και μόνο αν λύση της .
Άρα το θα είναι μια ρίζα του , ποια όμως θα είναι η άλλη;
Με τη βοήθεια της γράφουμε:
οπότε από Vieta βλέπουμε ότι η άλλη είναι η .
Αν λοιπόν λύση της , με ακεραίους, τότε ακέραια λύση με
, συνεπώς αρχίζοντας με την υπάρχουν άπειρες λύσεις.
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1888
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
Εξετάζουμε το δευτεροβάθμιο τριώνυμοsilouan έγραψε: ↑Σάβ Φεβ 24, 2024 3:35 pmΝα λυθεί και το ακόλουθοAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Σάβ Φεβ 24, 2024 3:20 pm
Πρόβλημα 1 Αν οι είναι πραγματικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε δύο από αυτούς να έχουν διαφορά μεγαλύτερη του , να αποδείξετε ότι υπάρχει ακέραιος αριθμός , ώστε .
, η διακρίνουσά του γράφεται
Για την τελευταία παράσταση διαδιχικά ισχύουν οι ανισότητες
Θεωρήσαμε, ότι οι αριθμοί είναι αυτοί που έχουν διαφορά μεγαλύτερη του .
Ίσως καλυτερα να είχε τεθεί αυτή η παραλλαγή του θέματος
-
- Δημοσιεύσεις: 2
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 31, 2022 12:25 pm
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
Καλησπέρα και συγχαρητήρια σε όλους.Υπάρχει λύση για το θέμα 3 των μεγάλων τάξεων;;
-
- Δημοσιεύσεις: 13
- Εγγραφή: Σάβ Φεβ 24, 2024 3:51 pm
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
Μια λύση για το 4 των μικρών με θεωρία εξισώσεων Pell.
Θέτουμε και για θετικούς ακεραίους , κι έτσι, μετά από πράξεις, η δεδομένη εξίσωση γίνεται . Πολλαπλασιάζοντας με και τα δύο μέλη και συμπληρώνοντας το τετράγωνο ως προς , οδηγούμαστε στην ισοδύμανη
Προς αναζήτηση λύσεων θέτουμε τώρα και με και οδηγούμαστε στην εξίσωση
Αρκεί λοιπόν να αιτιολογήσουμε ότι η τελευταία έχει άπειρες λύσεις. Κατ' αρχήν, η εξίσωση Pell
έχει άπειρες λύσεις με τη μικρότερη να είναι η και οι υπόλοιπες προκύπτουν αναδρομικά. Το ζητούμενο θα έχει αποδειχτεί εφόσον αιτιολογήσουμε ότι οι λύσεις για το αφήνουν υπόλοιπο διαιρούμενες με το , πράγμα που εγγυάται την ύπαρξη των αντίστοιχων παραπάνω. Από τη θεωρία επίλυσης εξισώσεων Pell έχουμε ότι
Άρα, όλες οι λύσεις ως προς έχουν το ίδιο υπόλοιπο διαιρούμενες με το κι αφού , έπεται ότι για κάθε και η απόδειξη ολοκληρώνεται.
Θέτουμε και για θετικούς ακεραίους , κι έτσι, μετά από πράξεις, η δεδομένη εξίσωση γίνεται . Πολλαπλασιάζοντας με και τα δύο μέλη και συμπληρώνοντας το τετράγωνο ως προς , οδηγούμαστε στην ισοδύμανη
Προς αναζήτηση λύσεων θέτουμε τώρα και με και οδηγούμαστε στην εξίσωση
Αρκεί λοιπόν να αιτιολογήσουμε ότι η τελευταία έχει άπειρες λύσεις. Κατ' αρχήν, η εξίσωση Pell
έχει άπειρες λύσεις με τη μικρότερη να είναι η και οι υπόλοιπες προκύπτουν αναδρομικά. Το ζητούμενο θα έχει αποδειχτεί εφόσον αιτιολογήσουμε ότι οι λύσεις για το αφήνουν υπόλοιπο διαιρούμενες με το , πράγμα που εγγυάται την ύπαρξη των αντίστοιχων παραπάνω. Από τη θεωρία επίλυσης εξισώσεων Pell έχουμε ότι
Άρα, όλες οι λύσεις ως προς έχουν το ίδιο υπόλοιπο διαιρούμενες με το κι αφού , έπεται ότι για κάθε και η απόδειξη ολοκληρώνεται.
τελευταία επεξεργασία από sachstyl σε Κυρ Φεβ 25, 2024 9:24 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
Καλησπέρα! Μπορεί κάποιος να μου πει εάν στέκει μαθηματικά η λύση μου στο 3ο πρόβλημα των μεγάλων;
Πρόβλημα 3ο
Από την εκφώνηση εύκολα προκύπτει ότι και ότι .
Ακόμη εύκολα προκύπτει, ότι , αφού το πλήθος των δυνατών διαφορών μπορεί να είναι το μέγιστο ίσο με το πλήθος των στοιχείων του , στην περίπτωση που όλα τα ζεύγη του συνόλου έχουν διαφορετικές διαφορές.
Λόγω του τρόπου με τον οποίο ορίζεται το , γνωρίζουμε επιπλέον ότι σε όλες τις τριάδες , με και , θα ισχύει και . Από το σύνολο υπάρχουν τρόποι για να διαλέξουμε κάποιο στοιχείο . Από το σύνολο υπάρχουν τρόποι για να διαλέξουμε κάποιο στοιχείο και, επειδή το στην εκφώνηση ορίζεται ανεξάρτητα του (δηλαδή μπορεί να είναι και ίσα), υπάρχουν επίσης τρόποι για να διαλέξουμε κάποιο στοιχείο . Έτσι, προκύπτει ότι .
Πρόβλημα 3ο
Από την εκφώνηση εύκολα προκύπτει ότι και ότι .
Ακόμη εύκολα προκύπτει, ότι , αφού το πλήθος των δυνατών διαφορών μπορεί να είναι το μέγιστο ίσο με το πλήθος των στοιχείων του , στην περίπτωση που όλα τα ζεύγη του συνόλου έχουν διαφορετικές διαφορές.
Λόγω του τρόπου με τον οποίο ορίζεται το , γνωρίζουμε επιπλέον ότι σε όλες τις τριάδες , με και , θα ισχύει και . Από το σύνολο υπάρχουν τρόποι για να διαλέξουμε κάποιο στοιχείο . Από το σύνολο υπάρχουν τρόποι για να διαλέξουμε κάποιο στοιχείο και, επειδή το στην εκφώνηση ορίζεται ανεξάρτητα του (δηλαδή μπορεί να είναι και ίσα), υπάρχουν επίσης τρόποι για να διαλέξουμε κάποιο στοιχείο . Έτσι, προκύπτει ότι .
- Έστω ότι . Τότε, είναι: Άρα, αν , τότε
- Έστω ότι . Τότε, είναι: Άρα, αν , τότε
-
- Δημοσιεύσεις: 13
- Εγγραφή: Σάβ Φεβ 24, 2024 3:51 pm
-
- Δημοσιεύσεις: 1
- Εγγραφή: Σάβ Φεβ 24, 2024 9:41 pm
-
- Δημοσιεύσεις: 13
- Εγγραφή: Σάβ Φεβ 24, 2024 3:51 pm
Re: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ 2024
Και εγω το ιδιο αναρρωτιέμαι!!Maria Papadopoulou έγραψε: ↑Σάβ Φεβ 24, 2024 9:43 pmΠοια πιστεύετε ότι θα είναι η βάση για την εισαγωγή στον προκριματικό;
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης