Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2024 (11η τάξη, 1η μέρα)

Al.Koutsouridis · #1

LXXXVIΙ Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
10 Μαρτίου 2024 $\bullet$ 11η τάξη, 1η μέρα

Πρόβλημα 1. Ένας μαθηματικός έχει

διαφορετικά σταθμά, οι μάζες των οποίων σε χιλιόγραμμα είναι ίσες με $\ln 2, \ln 3, \ln 4, \ldots , \ln 20$ , και έναν απόλυτα ακριβή ζυγό ισορροπίας δυο πιατέλων. Τοποθέτησε μερικά σταθμά στον ζυγό έτσι, ώστε να επέρθει ισορροπία. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός σταθμών, που μπορεί να υπάρχουν στον ζυγό; (Μ. Ευδοκίμοβ)

Πρόβλημα 2. Σε ένα οξυγώνιο τρίγωνο ABC

φέρουμε το ύψος

. Τα σημεία

και

είναι τα μέσα των τμημάτων

και

. Να αποδείξετε ότι τα σημεία τομής των καθέτων από τα σημεία

και

με τις ευθείες

και

αντίστοιχα, ισαπέχουν από τα σημεία

και

. (Ι. Μιχαϊλοβ)

Πρόβλημα 3. Δίνεται ένας σωρός 100

βότσαλων. Δυο άτομα παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι. Ο πρώτος παίκτης αφαιρεί

βότσαλο από τον σωρό, ύστερα ο δεύτερος μπορεί να αφαιρέσει

ή

βότσαλα, ύστερα ο πρώτος μπορεί να αφαιρέσει 1,2

ή

βότσαλα, ύστερα ο δεύτερος 1,2, 3

ή

και ου το καθεξής. Κερδίζει αυτός, που αφαιρεί το τελευταίο βότσαλο. Ποιος μπορεί να κερδίσει, ανεξάρτητα του πως θα παίξει ο αντίπαλός του; (Λ. Σμιρνόβα)

Πρόβλημα 4. Δίνεται ένα πολυώνυμο βαθμού $n \geq 1$ με ακέραιους μη μηδενικούς συντελεστές, ο καθένας εκ των οποίων είναι και ρίζα του. Να αποδείξετε, ότι οι απόλυτες τιμές όλων των συντελεστών αυτού του πολυωνύμου δεν υπερβαίνουν το

. (Λ. Σατούνοβ)

Πρόβλημα 5. Στο τετράεδρο ABCD

οι ασύμβατες ακμές ανά δυο είναι ίσες. Από το μέσο του τμήματος $AH_{A}$ , όπου $H_{A}$ το σημείο τομής των υψών της έδρας BCD

, φέρουμε την ευθεία $h_{A}$ κάθετη προς το επίπεδο BCD

. Ομοίως ορίζουμε τα σημεία $H_{B}, H_{C}, H_{D}$ και τις ευθείες $h_{B}, h_{C}, h_{D}$ αντίστοιχα για τις άλλες τρεις έδρες του τετράεδρου. Να αποδείξετε, ότι οι ευθείες $h_{A}, h_{B}, h_{C}, h_{D$ διέρχονται από το ίδιο σημείο. (Μ. Ευδοκίμοβ)

Πρόβλημα 6. Οι Μαινάδες σκαρφίστηκαν μια δοκιμασία για τον Ορφέα. Ο Ορφέας έχει ένα μαγικό αυλό, που μπορεί να παίξει μόνο δυο νότες την ντο και σι. Για να περάσει την δοκιμασία ο Ορφέας πρέπει να παίξει μια κάποια μελωδία των 300

νοτών της επιλογής του. Αλλά καθώς αρχίζει και παίζει, οι Μαινάδες διαλέγουν και του ανακοινώνουν ως απαγορευμένη μια μελωδία των

νοτών , μια των

νοτών, …, μια των

νοτών. Αν σε κάποια χρονική στιγμή οι τελευταίες νότες που παίχτηκαν σχηματίζουν μια από τις απαγορευμένες μελωδίες, ο αυλός σταματάει να ηχεί. Μπορεί ο Ορφέας να περάσει την δοκιμασία, ανεξάρτητα το ποιες μελωδίες θα ανακοινώσουν ως απαγορευμένες οι Μαινάδες; (Β. Κλέπτσιν)

S.E.Louridas · #2

Al.Koutsouridis έγραψε: Τρί Μαρ 12, 2024 4:18 pm LXXXVIΙ Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
10 Μαρτίου 2024 $\bullet$ 11η τάξη, 1η μέρα

Πρόβλημα 5.
Στο τετράεδρο οι ασύμβατες ακμές ανά δυο είναι ίσες. Από το μέσο του τμήματος $AH_{A}$ , όπου $H_{A}$ το σημείο τομής των υψών της έδρας , φέρουμε την ευθεία $h_{A}$ κάθετη προς το επίπεδο . Ομοίως ορίζουμε τα σημεία $H_{B}, H_{C}, H_{D}$ και τις ευθείες $h_{B}, h_{C}, h_{D}$ αντίστοιχα για τις άλλες τρεις έδρες του τετράεδρου. Να αποδείξετε, ότι οι ευθείες $h_{A}, h_{B}, h_{C}, h_{D$ διέρχονται από το ίδιο σημείο. (Μ. Ευδοκίμοβ)

Πρόβλημα 5 (Με χειροποίητο σχήμα παλιάς κοπής).

Είναι καθαρό ότι οι έδρες είναι ίσα τρίγωνα. Θα εργαστούμε καταρχάς στο τρίγωνο BCD.

Θεωρούμε τα ύψη του BE, CF

και προσδιορίζουμε το ορθόκεντρο του ${H_A}$ .
Εδώ θεωρούμε το ύψος

του τριγώνου ACD

και παρατηρούμε ότι τα ορθογώνια τρίγωνα BCE, AKD

είναι ίσα επομένως CE=KD.

Από το τρίγωνο ABD

αν θεωρήσουμε το ύψος του AL,

ομοίως παίρνουμε LD=BF.

Θεωρούμε την

κάθετη στο επίπεδο (BCD)

και με βάση το θεώρημα των τριών καθέτων έχουμε $QK \bot CD,\;QL \bot BD.$ Αυτό από την επιπεδομετρία σημαίνει ότι το σημείο

είναι συμμετρικό του ορθόκεντρου ${H_A}$ ως προς το κέντρο

του περιγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο BCD

και αυτό οδηγεί στο ότι
η κάθετη από το μέσο του $A{H_A}$ στο επίπεδο (BCD)

περνά από το

Εργαζόμαστε κυκλικά και πλέον κατανοούμε ότι το ζητούμενο
ισχύει αφού το σημείο που συντρέχουν είναι το κέντρο της περιγεγραμμένης σφαίρας στο δοθέν τετράεδρο.

: asdf.png (128.32 KiB) Προβλήθηκε 1470 φορές

#3

Al.Koutsouridis έγραψε: Τρί Μαρ 12, 2024 4:18 pm LXXXVIΙ Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
10 Μαρτίου 2024 $\bullet$ 11η τάξη, 1η μέρα

Πρόβλημα 2. Σε ένα οξυγώνιο τρίγωνο φέρουμε το ύψος . Τα σημεία και είναι τα μέσα των τμημάτων και . Να αποδείξετε ότι τα σημεία τομής των καθέτων από τα σημεία και με τις ευθείες και αντίστοιχα, ισαπέχουν από τα σημεία και . (Ι. Μιχαϊλοβ)

Έστω ότι οι κάθετες τέμνονται στο

Φέρνω τις προβολές D, Z

του

στις

αντίστοιχα.

Το ADHZ

είναι εγγράψιμο, άρα $A\widehat DZ=A\widehat HZ=A\widehat CH,$ οπότε και το DZCB

είναι εγγράψιμο.

: ΜΟΜ 2024(11).png (18.36 KiB) Προβλήθηκε 1445 φορές

Αλλά, οι

είναι μεσοκάθετοι των BD, CZ.

Επομένως, το

είναι το περίκεντρο του DZCB

και κατά συνέπεια $\boxed{KB=KC}$

abfx · #4

Al.Koutsouridis έγραψε: Τρί Μαρ 12, 2024 4:18 pm Πρόβλημα 3. Δίνεται ένας σωρός βότσαλων. Δυο άτομα παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι. Ο πρώτος παίκτης αφαιρεί βότσαλο από τον σωρό, ύστερα ο δεύτερος μπορεί να αφαιρέσει ή βότσαλα, ύστερα ο πρώτος μπορεί να αφαιρέσει ή βότσαλα, ύστερα ο δεύτερος ή και ου το καθεξής. Κερδίζει αυτός, που αφαιρεί το τελευταίο βότσαλο. Ποιος μπορεί να κερδίσει, ανεξάρτητα του πως θα παίξει ο αντίπαλός του; (Λ. Σμιρνόβα)

Πριν τη λύση, κάποιες συμβάσεις για συντακτική ευκολία.

Αν $n_1\leq n_2$ φυσικοί αριθμοί, ορίζουμε $[n_1,n_2]=\{x\in \mathbb{Z} : n_1\leq x \leq n_2 \}$

Για , η θέση ορίζεται να είναι η θέση όπου:
- Απομένουν βότσαλα στο σωρό.
- Ο παίκτης που έχει σειρά έχει δικαίωμα να αφαιρέσει ή ή $\ldots$ ή βότσαλα.

Γράφουμε $(m,k)\in N$ , αν ο παίκτης που έχει σειρά έχει στρατηγική νίκης, αλλιώς γράφουμε $(m,k)\in X$ .

Γράφουμε $(m,k) \rightarrow (m{'},k+1)$ , αν ο παίκτης που έχει σειρά στη θέση παίζει και "προκαλεί" τη θέση .
Προφανώς $m{'} \in [m-k,m-1]$ και ο επόμενος παίκτης αφαιρεί ή ή $\ldots$ ή βότσαλα.

Πάμε τώρα στη λύση. Θα αποδείξουμε επαγωγικά τον παρακάτω ισχυρισμό.

$\mathcal P (n): \forall k \in \mathbb{Z}^+$ , ισχύει: $m\in [nk+n(n+1)+1,(n+1)k+n(n+2)] \implies (m,k)\in N$ και

$m \in [(n+1)k+(n+1)^2,(n+1)k+(n+1)(n+2)] \implies (m,k) \in X$ .

Απόδειξη
Για n=0

, αν $m\in [1,k]$ , τότε $(m,k) \rightarrow (0,k+1)$ οπότε $(m,k)\in N$ .

Αν $m\in [k+1,k+2]$ , τότε $(m,k) \rightarrow (m{'},k+1) \implies m{'} \in [1,k+1]$ και άρα $(m{'},k+1) \in N$ συνεπώς $(m,k) \in X$ .

Έχουμε λοιπόν ότι $\mathcal P (0)$ αληθής.

Υποθέτουμε ότι $\mathcal P (n-1)$ αληθής για κάποιο $n\geq 1$ .

Έστω $m\in [nk+n(n+1)+1,(n+1)k+n(n+2)]$ .

Αν $m\in [nk+n(n+1)+1,(n+1)k+n(n+1)]$ , τότε

$(m,k)\rightarrow (nk+n(n+1),k+1)=(n(k+1)+n^2,k+1) \in X$ από $\mathcal P(n-1)$ .

Άρα, $(m,k) \in N$ .

Αν $m \in [(n+1)k+n(n+1)+1,(n+1)k+n(n+2)]$ , $m=(n+1)k+n(n+1)+i , i\in[1,n]$ .

Τότε $(m,k)\rightarrow (m-k,k+1)=(n(k+1)+n^2+i,k+1) \in X$ από $\mathcal P (n-1)$ , οπότε $(m,k)\in N$ .

Έστω τώρα $m\in [(n+1)k+(n+1)^2,(n+1)k+(n+1)(n+2)]$ , και ότι $(m,k)\rightarrow (m{'},k+1)$ .

Τότε $m{'} \in [(n+1)k+(n+1)^2-k,(n+1)k+(n+1)(n+2)-1]=$
=[n(k+1)+n(n+1)+1, (n+1)(k+1)+n(n+2)]

.

Από το προηγούμενο βήμα έχουμε $(m{'},k+1)\in N$ , άρα $(m,k) \in X$ και τελειώσαμε.

Από επαγωγή $\mathcal P (n)$ αληθής για κάθε $n\geq 0 \text{ . } \square$

Παίρνοντας k=1

o $\mathcal P(n)$ δίνει $m \in [(n+1)^2,(n+1)(n+2)-1] \implies (m,1)\in N$ .

Για n=9 : (9+1)^2=100

οπότε $(100,1)\in N$ , επομένως κερδίζει ο πρώτος παίκτης.

mick7 · #5

Για το Π1) εφόσον απο τον λογαριθμικό κανόνα έχουμε lna+lnb =ln(a*b) ψάχνουμε να βρούμε όρους ανάμεσα στους 2,3...,20 ώστε το γινόμενο στην μια πιατέλα να είναι ίσο με την άλλη πιατέλα.
Κάνοντας δοκιμές βρήκα ότι

$4\cdot8\cdot14\cdot10\cdot15\cdot12\cdot9=2\cdot16\cdot7\cdot20\cdot3\cdot5\cdot6\cdot18$

Και αρα ο μεγαλύτερος αριθμός σταθμών είναι 15.

Πρόβλημα 1. Ένας μαθηματικός έχει διαφορετικά σταθμά, οι μάζες των οποίων σε χιλιόγραμμα είναι ίσες με $\ln 2, \ln 3, \ln 4, \ldots , \ln 20$ , και έναν απόλυτα ακριβή ζυγό ισορροπίας δυο πιατέλων. Τοποθέτησε μερικά σταθμά στον ζυγό έτσι, ώστε να επέρθει ισορροπία. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός σταθμών, που μπορεί να υπάρχουν στον ζυγό; (Μ. Ευδοκίμοβ)

Al.Koutsouridis · #6

mick7 έγραψε: Σάβ Μαρ 16, 2024 3:27 pm Για το Π1) εφόσον απο τον λογαριθμικό κανόνα έχουμε lna+lnb =ln(a*b) ψάχνουμε να βρούμε όρους ανάμεσα στους 2,3...,20 ώστε το γινόμενο στην μια πιατέλα να είναι ίσο με την άλλη πιατέλα.
Κάνοντας δοκιμές βρήκα ότι

$4\cdot8\cdot14\cdot10\cdot15\cdot12\cdot9=2\cdot16\cdot7\cdot20\cdot3\cdot5\cdot6\cdot18$

Και αρα ο μεγαλύτερος αριθμός σταθμών είναι 15.

Για να είναι πλήρης η λύση πρέπει να δικαιολογήσουμε και το γιατί δεν μπορούμε με περισσότερο αριθμό σταθμών.

mick7 · #7

Αν δούμε προσεκτικά την σχέση ισότητας πρόκειται για πολλαπλάσια και δυνάμεις απο το σύνολο 2,3,5,7

.Αυτά που δεν παράγονται απο το το σύνολο 2,3,5,7

είναι το

και αυτοί είναι οι αριθμοί που λείπουν απο την ισότητα.

Αυτή είναι η δική μου συλλογιστική.

Περιμένουμε και την επίσημη λύση.

Για να είναι πλήρης η λύση πρέπει να δικαιολογήσουμε και το γιατί δεν μπορούμε με περισσότερο αριθμό σταθμών.

Al.Koutsouridis · #8

mick7 έγραψε: Σάβ Μαρ 16, 2024 6:32 pm Αν δούμε προσεκτικά την σχέση ισότητας πρόκειται για πολλαπλάσια και δυνάμεις απο το σύνολο .Αυτά που δεν παράγονται απο το το σύνολο είναι το και αυτοί είναι οι αριθμοί που λείπουν απο την ισότητα.

S.E.Louridas έγραψε: Τρί Μαρ 12, 2024 10:50 pm
Είναι καθαρό ότι οι έδρες είναι ίσα τρίγωνα. Θα εργαστούμε καταρχάς στο τρίγωνο Θεωρούμε τα ύψη του
και προσδιορίζουμε το ορθόκεντρο του ${H_A}$ .
Εδώ θεωρούμε το ύψος του τριγώνου και παρατηρούμε ότι τα ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα επομένως
Από το τρίγωνο αν θεωρήσουμε το ύψος του ομοίως παίρνουμε Θεωρούμε την κάθετη στο επίπεδο
και με βάση το θεώρημα των τριών καθέτων έχουμε $QK \bot CD,\;QL \bot BD.$ Αυτό από την επιπεδομετρία σημαίνει ότι το σημείο
είναι συμμετρικό του ορθόκεντρου ${H_A}$ ως προς το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο και αυτό οδηγεί στο ότι
η κάθετη από το μέσο του $A{H_A}$ στο επίπεδο περνά από το Εργαζόμαστε κυκλικά και πλέον κατανοούμε ότι το ζητούμενο
ισχύει αφού το σημείο που συντρέχουν είναι το κέντρο της περιγεγραμμένης σφαίρας στο δοθέν τετράεδρο.asdf.png

Πολύ όμορφη λύση! Εναλλακτικά θα μπορούσε κανείς να χρησιμοποιήσει τις ιδότητες των ισοεδρικών τετράεδρων (βλέπε π.χ. εδώ).

Παρατηρούμε ότι το τετράεδρο ABCD

είναι ισοεδρικό άρα το κέντρο της περιγεγραμμένης σφαίρας του

θα συμπίπτει με το σημείο τομής των διαμέσων του

. Έστω $G_{A}$ το κέντρο βάρους της έδρας BCD

.

Θεωρούμε την προβολή της ευθείας $AG_{A}$ στο επίπεδο BCD

. Επειδή το $O \in AG_{A}$ είναι το κέντρο της περιγεγραμμένης σφαίρας, η προβολή του στο επίπεδο BCD

είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου BCD

. Επειδή κατά την προβολή διατηρούνται η αναλογίες θα έχουμε $O_{A}A{'}:O_{A}G_{A}=3:1$ , όπου A{'}

η προβολή του σημείου

στο επίπεδο BCD

.

Η ευθεία $O_{A}G_{A}$ είναι η ευθεία Euler του τριγώνου BCD

, σε αυτήν ανήκει και το ορθόκεντρο $H_{A}$ , για το οποίο ισχύει η αναλογία $H_{A}O_{A}=3O_{A}G_{A}$ . Από τις παραπάνω αναλογίες προκύπτει ότι το σημείο $O_{A}$ είναι το μέσο του τμήματος $A{'}H_{A}$ . Άρα και η κάθετη ευθεία από το μέσο του τμήματος $AH_{A}$ προς το επίπεδο BCD

θα διέρχεται από το $O_{A}$ και επακόλουθα από το

. Ομοίως και οι άλλες ζητούμενες κάθετες διέρχονται από το κέντρο

της περιγεγραμμένης σφαίρας του ABCD

.

S.E.Louridas · #9

Al.Koutsouridis έγραψε: Τρί Μαρ 12, 2024 4:18 pm LXXXVIΙ Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας
10 Μαρτίου 2024 $\bullet$ 11η τάξη, 1η μέρα

Πρόβλημα 2. Σε ένα οξυγώνιο τρίγωνο φέρουμε το ύψος . Τα σημεία και είναι τα μέσα των τμημάτων και . Να αποδείξετε ότι τα σημεία τομής των καθέτων από τα σημεία και με τις ευθείες και αντίστοιχα, ισαπέχουν από τα σημεία και . (Ι. Μιχαϊλοβ)

Θα ήθελα από εδώ να ευχαριστήσω ειλικρινά τον Αλέξανδρο για την άριστη άρα και ουσιαστική πληροφόρηση για τέτοια θέματα που και εμάς «προπονούν» πέραν των εντός των τειχών πραγμάτων, αλλά και το σπουδαιότερο μας οδηγούν στην αναπόφευκτη σύγκριση μεταξύ των αντίστοιχων Προγραμμάτων Μαθηματικής Παιδείας των Κρατών. Όμως ο Αλέξανδρος παρουσιάζει τις λύσεις με επιλογή κατάλληλης μεθόδου, με ακρίβεια και αυστηρότητα και βέβαια με αναφορά στη κατάλληλη ευρύτερη θεωρία. Έτσι για όλα αυτά και μόνο για λόγους πλουραλισμού επιλύω το πρόβλημα αυτό με μέθοδο επίλυσης για αυτόν που δεν σκέφτηκε κύκλο, όπως ο Γιώργος με την άριστη διαπραγμάτευση του.

Πρόβλημα 2

Μία επίλυση:
Στο σχήμα που ακολουθεί καταρχάς θεωρούμε $AB \leqslant AC.$ Με βάση και τα συγκεκριμένα δεδομένα της εκφώνησης θεωρούμε

την μεσοκάθετη της πλευράς

στο μέσο της

που τέμνει τις ευθείες BA, CA

στα σημεία F, K

αντίστοιχα.

Άμεσα έχουμε $MH = TN,\;\,NH = MT.$

Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{\frac{{KT}}{{TC}} = \frac{{AH}}{{HC}},\,\;\frac{{TB}}{{FT}} = \frac{{BH}}{{AH}}\mathop \Rightarrow \limits^{\left(\cdot \right)} \frac{{KT}}{{FT}} = ... = \frac{{TN}}{{MT}} \Rightarrow \vartriangle KTM \sim \vartriangle FTM.}$

Αν η

τέμνει την μεσοκάθετη στο S_1

τότε το

είναι ορθόκεντρο του τριγώνου FBS_1

και αν

η

τέμνει τη μεσοκάθετη στο σημείο S_2

το

θα είναι ορθόκεντρο του τριγώνου KS_2C.

Έτσι καταλήγουμε $\angle {S_1}BT = \angle MFT = \angle TKN = \angle TCS_2 \Rightarrow {S_1} \equiv {S_2}$ .

Ας ονομάσουμε λοιπόν το σημείο αυτό της ταύτισης

Ομοίως εργαζόμαστε αν $AC \leqslant AB.$

: Rusia.png (77.15 KiB) Προβλήθηκε 1145 φορές

Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2024 (11η τάξη, 1η μέρα)

Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2024 (11η τάξη, 1η μέρα)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2024 (11η τάξη, 1η μέρα)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2024 (11η τάξη, 1η μέρα)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2024 (11η τάξη, 1η μέρα)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2024 (11η τάξη, 1η μέρα)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2024 (11η τάξη, 1η μέρα)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2024 (11η τάξη, 1η μέρα)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2024 (11η τάξη, 1η μέρα)

Re: Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2024 (11η τάξη, 1η μέρα)

Μέλη σε σύνδεση