Θέματα της 7ης τάξης για την 2η φάση, 11 Φεβρουαρίου 2024.
1. Σε ένα διαγώνισμα συμμετείχαν
μαθητές. Τα γραπτά όλων ο δάσκαλος τα τοποθέτησε σε μερικές στοίβες, ύστερα μάζεψε όλους του μαθητές σε μια μεγάλη αίθουσα και άρχισε να διορθώνει τις στοίβες με κάποια σειρά. Η διόρθωση κάθε γραπτού διαρκεί ακριβώς ένα λεπτό. Τελειώνοντας την διόρθωση μιας στοίβας γραπτών, ο δάσκαλος στιγμιαία ανακοινώνει τα αποτελέσματα σε όλους τους συμμετέχοντες και συνεχίζει στην διόρθωση της επόμενης στοίβας γραπτών. Ο κάθε μαθητής μέτρησε, πόσο χρόνο περίμενε στην αίθουσα μέχρι να ανακοινωθεί ο βαθμός του. Να αποδείξετε, ότι ο συνολικός χρόνος αναμονής δεν εξαρτάται από την σειρά με την οποία ο δάσκαλος διορθώνει τις στοίβες με τα γραπτά. 2. Στο πεντάγωνο
οι γωνίες στις κορυφές 
και 
είναι ίσες. Η διχοτόμος της γωνίας 
τέμνει την πλευρά 
στο σημείο 
. Να αποδείξετε ότι 
.3. Υπάρχουν άραγε μη μηδενικοί φυσικοί αριθμοί
και 
τέτοιοι, ώστε 
και 
;4. Ένας φαρμακοποιός έχει
σταθμά, τα οποία είναι βαμμένα με τρία χρώματα, άσπρο, μπλε και κόκκινο. Το συνολικό βάρος όλων των σταθμών ίδιου χρώματος είναι ένα κιλό. Του φαρμακοποιού του αρέσει μια συλλογή σταθμών, αν το συνολικό βάρος της είναι τουλάχιστον ένα κιλό. Να αποδείξετε ότι του αρέσουν τουλάχιστον 
συλλογές. Καταληκτική αίθουσα
5. Δίνεται ένα τρίγωνο
στο οποίο 
. Στην προέκταση της πλευράς 
προς στο σημείο 
δίνεται σημείο 
τέτοιο, ώστε 
. Να αποδείξετε, ότι 
.6. Ο Αλέξανδρος έχει δυο άπειρες λωρίδες. Στην πρώτη λωρίδα είναι γραμμένοι οι αριθμοί
(κάθε επόμενος είναι δυο φορές μεγαλύτερος από τον προηγούμενο). Στην δεύτερη λωρίδα είναι γραμμένοι οι αριθμοί
(«αντεστραμμένοι» οι αριθμοί της πρώτης λωρίδας). Με ποιο ψηφίο μπορεί να ξεκινάει ο φυσικός αριθμός
, αν ο αριθμός 
είναι γραμμένος στην δεύτερη λωρίδα;7. Σε ένα τετραγωνισμένο τετράγωνο
σημειώθηκαν τα κέντρα 
κελιών. Να αποδείξετε ότι μεταξύ των αποστάσεων ζευγών σημειωμένων σημείων κάποιες δυο θα διαφέρουν κατά δυο φορές.