Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2025 (11η τάξη, 1η φάση)

[Al.Koutsouridis]

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2025
Θέματα της 1ης φάσης για την 11η τάξη, 16 Νοεμβρίου 2024

1. Ο καθένας εκ των θετικών ακέραιων είναι ίσος, με το άθροισμα των αντιστρόφων των υπόλοιπων . Να βρείτε αυτούς τους αριθμούς. (Υποδείξτε όλες τις δυνατές περιπτώσεις και αποδείξτε ότι δεν υπάρχουν άλλες.)

2. Στο οξυγώνιο τρίγωνο φέρθηκε το ύψος , η διχοτόμος και η διάμεσος (τα σημεία είναι τοποθετημένα στην ευθεία ακριβώς με αυτήν την σειρά). Προέκυψε ότι και η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ίση με . Να βρείτε την γωνία .

3. Στον πίνακα είναι γραμμένο άρτιο πλήθος διαφορετικών πραγματικών αριθμών. Ο Δημήτρης, ο Νίκος και Σπύρος χώρισαν τους αριθμούς σε ζεύγη (ο καθένας με τον τρόπο του, διαφορετικά παιδιά δεν επιτρέπεται να διαλέξουν το ίδιο ζεύγος) και ύστερα πολλαπλασίασαν τους αριθμούς στα ζεύγη. Το καθένα από τα γινόμενα προέκυψε να είναι ίσο με ή . Να αποδείξετε ότι κάποιο από τα παιδιά έσφαλε.

4. Το άθροισμα των ακέραιων αριθμών και δεν είναι ίσο με . Είναι γνωστό ότι ο αριθμός δεν διαιρείτε με τον για κανέναν ακέραιο . Να αποδείξετε ότι το δευτεροβάθμιο τριώνυμο δεν έχει ακέραιες ρίζες.

5. Ένας κύβος πλευράς διαμερίστηκε σε μοναδιαίους κυβίσκους. Σε κάθε κυβίσκο είναι γραμμένο το ψηφίο ή . Θα ονομάσουμε μια γραμμή από ψηφία ή καλή, αν μπορεί να προκύψει, ξεκινώντας από κάποιο κυβίσκο και μεταβαίνοντας σε κάθε βήμα σε γειτονικό (κατά έδρα) κυβίσκο. Για παράδειγμα η γραμμή είναι καλή, αν μπορούμε από τον κυβίσκο με το ψηφίο να μεταβούμε στο κυβίσκο με ψηφίο , από αυτό στο κυβίσκο με ψηφίο (πιθανόν το αρχικό) και από αυτόν στον κυβίσκο με το ψηφίο .
Προέκυψε ότι οποιαδήποτε γραμμή μήκους το πολύ είναι καλή. Ένας από τους κυβίσκους αφαιρέθηκε, με αποτέλεσμα μερικές γραμμές έπαψαν να είναι καλές. Να αποδείξετε ότι απέμειναν τουλάχιστον καλές γραμμές μήκους .

[Mihalis_Lambrou]

1. Ο καθένας εκ των θετικών ακέραιων είναι ίσος, με το άθροισμα των αντιστρόφων των υπόλοιπων . Να βρείτε αυτούς τους αριθμούς. (Υποδείξτε όλες τις δυνατές περιπτώσεις και αποδείξτε ότι δεν υπάρχουν άλλες.)

.
Απάντηση: Όλοι οι αριθμοί είναι ίσοι με .

Έστω οι αριθμοί. Τότε έχουμε

, και κυκλικά. Άρα και κυκλικά.

Eπειδή τα δεξιά μέλη είναι ίσα, έπεται . Από την πρώτη ισότητα έπεται ότι είτε ή . Όμως η αποκλείεται γιατί τότε η δίνει μετά την απλοποίηση ότι . Άτοπο στους θετικούς.

Άρα έχουμε και όμοια, τελικά, . Πίσω στην λαμβάνουμε , άρα . Όμοια οι υπόλοιποι.