Προκριματικός Διαγωνισμός Νέων 2007

#1

: 2007_1.PNG (103.17 KiB) Προβλήθηκε 451 φορές

: 2007_2.PNG (12.03 KiB) Προβλήθηκε 451 φορές

#2

Πρόβλημα 4. Να υπολογίσετε το άθροισμα

$\displaystyle{\sqrt {1+ \dfrac {8\cdot 1^2-1}{ 1^2 \cdot 3^2}} \sqrt {1+ \dfrac {8\cdot 2^2-1}{ 3^2 \cdot 5^2}}+...+ \sqrt {1+ \dfrac {8\cdot 1003^2-1}{ 2005^2 \cdot 2007^2}} }$

Λύση. Ο γενικός όρος, για k=1

έως

, είναι

$\displaystyle{\sqrt {1+ \dfrac {8\cdot k^2-1}{ (2k-1)^2(2k+1)^2}} = \sqrt { \dfrac { (4k^2-1)^2+ 8\cdot k^2-1}{ (2k-1)^2(2k+1)^2}} = \sqrt { \dfrac { 16k^4}{ (2k-1)^2(2k+1)^2}} =}$

$\displaystyle{ = \dfrac { 4k^2}{ (2k-1)(2k+1)}= 1+ \dfrac {1}{2} \left ( \dfrac {1}{2k-1} - \dfrac {1}{2k+1} \right ) }$

Tα

έχουν άθροισμα 1003

. Οι άλλοι δύο προσθετέοι είναι τηλεσκοπικό άθροισμα. Μένει ο πρώτος και ο τελευταίος όρος, εδώ $\dfrac {1}{2} \left ( \dfrac {1}{1} - \dfrac {1}{2007} \right )$ . Όλο μαζί απλοποιημένο δίνει $\dfrac {1003\cdot 2008}{2007}$

#3

Πρόβλημα 2. Αν ο είναι τέλειο τετράγωνο, τότε ο δεν είναι πολλαπλάσιο του .

Λύση και σχόλιο: Μάλλον ατυχές πρόβλημα γιατί η μόνη περίπτωση που ο n(n+3)

είναι τέλειο τετράγωνο, είναι όταν n=1

, οπότε ισχύει το συμπέρασμα και με πολύύύύ περίσσευμα.

Πράγματι, για n=1

η παράσταση ισούται $1\cdot 4 = 2^2$ . Επίσης, για n>1

έχουμε

. Δηλαδή ο μεσαίος όρος, που είναι ο δοθείς αριθμός n(n+3)

, είναι γνήσια μεταξύ δύο διαδοχικών τελείων τετραγώνων, και άρα δεν είναι τέλειο τετράγωνο.

KARKAR · #4

Πρόβλημα 1

: 2007 πρώτο.png (25.43 KiB) Προβλήθηκε 419 φορές

Άσκηση της λογικής : " Το πρώτο θέμα ας το γράψουν όλοι " , κάτι που είναι μάλλον καλή πρακτική .

KARKAR · #5

Πρόβλημα 3

: 2007 πρώτο.png (19.17 KiB) Προβλήθηκε 414 φορές

Με μικρή αλλαγή συμβόλων :

b=2R , a-R=2R-r , (a-R-r)^2+(R-r)^2=(R+r)^2

.

Θεωρώντας γνωστό το

, βρίσκουμε : $r=\dfrac{a}{2}(7-3\sqrt{5}) ,R=\dfrac{a}{2}(3-\sqrt{5})$ .

Οπότε : $\dfrac{r}{R}=\dfrac{3-\sqrt{5}}{2} , \dfrac{a}{b}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{4}$ .

Τέλος $\Delta K=\dfrac{a}{2}(\sqrt{5}-1)$ . Πολύ $\phi$

Προκριματικός Διαγωνισμός Νέων 2007

Προκριματικός Διαγωνισμός Νέων 2007

Re: Προκριματικός Διαγωνισμός Νέων 2007

Re: Προκριματικός Διαγωνισμός Νέων 2007

Re: Προκριματικός Διαγωνισμός Νέων 2007

Re: Προκριματικός Διαγωνισμός Νέων 2007

Μέλη σε σύνδεση