Θέματα της πρώτης μέρας για την 11η τάξη.
1. Στον πίνακα είναι γραμμένοι
ανά δυο διαφορετικοί μιγαδικοί αριθμοί. Προέκυψε ότι, ακριβώς με 
τρόπους μπορούμε να διαλέξουμε δυο αριθμούς 
γραμμένους στον πίνακα έτσι, ώστε να ικανοποιείται η ισότητα 
.Οι τρόποι που διαφέρουν στην αναδιάταξη των αριθμών, θεωρούνται ίδιοι. Να αποδείξετε ότι μπορούμε να διαλέξουμε δυο τέτοιους αριθμούς
και 
, γραμμένους στον πίνακα, ώστε 
. 2. Δίνεται ορθό πρίσμα
. Είναι γνωστό ότι τα τρίγωνα 
και 
είναι οξυγώνια. Να αποδείξετε ότι τα σημεία τομής των υψών αυτών των τριγώνων καθώς και το σημείο τομής των διαμέσων του τριγώνου βρίσκονται στην ίδια σφαίρα. 3. Το ζεύγος των πολυώνυμων
και 
θα το ονομάσουμε σημαντικό, αν από το ότι διαιρούνται με το 
και οι δυο διαφορές 
και 
, όπου 
ακέραιοι αριθμοί, συνεπάγεται ότι και οι αριθμοί 
και 
διαιρούνται με το . Υπάρχει άραγε σημαντικό ζεύγος πολυώνυμων 
τέτοιο, ώστε και το ζεύγος πολυώνυμων 
και 
να είναι και αυτό σημαντικό;4. Δίνεται ένας φυσικός αριθμός
. Ένας κύβος πλευράς 
αποτελείται από 
μοναδιαίους κύβους, ο καθένας εκ των οποίων είναι είτε λευκός, είτε μαύρος. Προέκυψε ότι μεταξύ οποιονδήποτε 
κύβων, που έχουν κοινή κορυφή και σχηματίζουν κύβο 
, το πολύ 
είναι μαύροι. Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός μαύρων κύβων που χρησιμοποιήθηκαν;