Θέματα της 2ης μέρας για την 9η τάξη. 3 Φεβρουαρίου 2026.
1. Ένας προπονητής έδωσε σε αρχάριους σκακιστές την άσκηση: ο καθένας πρέπει να προσέλθει σε μια σκακιέρα
, να τοποθετήσει ένα σκακιστικό βασιλιά σε ένα από τα γωνιακά κελιά και να κάνει με αυτόν 
κινήσεις έτσι, ώστε ο βασιλιάς να βρεθεί σε κάποια άλλα δυο γωνιακά κελιά και να επιστρέψει στο αρχικό κελί. Ύστερα τον βασιλιά τον αφαιρούν και στην σκακιέρα προσέρχεται το επόμενο παιδί. Τέσσερα παιδιά με την σειρά εκπλήρωσαν την άσκηση. Άραγε μετά από αυτό απαραίτητα θα βρεθούν δυο τέτοια κελιά 
και 
, ώστε τουλάχιστον δύο παιδιά να έκαναν με τον βασιλιά την κίνηση από το κελί στο κελί ;2. Δίνεται ένας περιττός πρώτος αριθμός
. Να βρείτε όλα τα ζεύγη θετικών ακέραιων αριθμών 
και 
τέτοιων, ώστε 
.3. Το οξυγώνιο τρίγωνο
είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο το σημείο 
. Η ευθεία 
τέμνει το τμήμα 
στο σημείο 
. Το σημείο 
του τμήματος διαλέχθηκε έτσι, ώστε το να είναι το μέσο του τμήματος 
. Το ίχνος 
της καθέτου, που φέρεται από το προς την 
, βρίσκεται στο εσωτερικό του τριγώνου 
. Η ευθεία 
τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου , στο σημείο 
. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες 
και είναι παράλληλες. 4. Οι αριθμοί
και 
είναι μεγαλύτεροι της μονάδας και ικανοποιούν την ισότητα 
. Να αποδείξετε ότι
.5. Σε μια μεγάλη ομάδα κάθε άτομο έχει ακριβώς
γνωστούς σε αυτή την ομάδα (αν ο είναι γνωστός με τον , τότε και ο είναι γνωστός με τον ). Προέκυψε ότι για κάθε άτομο μεταξύ των γνωστών του υπάρχει τουλάχιστον ένα ζεύγος μη γνωστών μεταξύ τους ατόμων. Για ποιο μέγιστο 
μπορούμε να ισχυριστούμε ότι, στην ομάδα θα βρεθεί τέτοιο άτομο, ώστε μεταξύ των γνωστών του θα βρεθούν τουλάχιστον διαφορετικά ζεύγη ατόμων, σε καθένα από τα οποία τα άτομα δεν είναι γνωστά μεταξύ τους; (Ένα άτομο μπορεί να βρίσκεται σε κάμποσα τέτοια ζεύγη.)
για να φύγουν οι παρονομαστές:
, πρέπει 
.
είναι:
, άρα λύση:
(ο πρώτος περιττός), έχουμε 
. 
.
. 
Ορίζουμε το 
ως το σημείο τομής του περίκυκλου του τριγώνου 
από την ευθεία 
στο σημείο έστω 
έχουμε 
συμπεραίνεται ότι 
και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.![\displaystyle
\begin{aligned}
(b-\frac{1}{a})(c-\frac{1}{b})(a-\frac{1}{c}) &= 1,\\[1mm]
(b-\frac{1}{a})^2 + (c-\frac{1}{b})^2 + (a-\frac{1}{c})^2 &\ge 3\sqrt[3]{(b-\frac{1}{a})^2 (c-\frac{1}{b})^2 (a-\frac{1}{c})^2} = 3,\\[1mm]
(a-\frac{1}{a})^2 + (b-\frac{1}{b})^2 + (c-\frac{1}{c})^2 &= (b-\frac{1}{a})^2 + (c-\frac{1}{b})^2 + (a-\frac{1}{c})^2 + \left(\frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c} - 3\right),\\[1mm]
(a-\frac{1}{a})^2 + (b-\frac{1}{b})^2 + (c-\frac{1}{c})^2 &\ge \frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c},\\[1mm]
\ a = b = c = \frac{1+\sqrt{5}}{2}.
\end{aligned}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/84702787ca3944f308c570ba0108b1e6.png "\displaystyle
\begin{aligned}
(b-\frac{1}{a})(c-\frac{1}{b})(a-\frac{1}{c}) &= 1,\\[1mm]
(b-\frac{1}{a})^2 + (c-\frac{1}{b})^2 + (a-\frac{1}{c})^2 &\ge 3\sqrt[3]{(b-\frac{1}{a})^2 (c-\frac{1}{b})^2 (a-\frac{1}{c})^2} = 3,\\[1mm]
(a-\frac{1}{a})^2 + (b-\frac{1}{b})^2 + (c-\frac{1}{c})^2 &= (b-\frac{1}{a})^2 + (c-\frac{1}{b})^2 + (a-\frac{1}{c})^2 + \left(\frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c} - 3\right),\\[1mm]
(a-\frac{1}{a})^2 + (b-\frac{1}{b})^2 + (c-\frac{1}{c})^2 &\ge \frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c},\\[1mm]
\ a = b = c = \frac{1+\sqrt{5}}{2}.
\end{aligned}")
![(a-\frac{1}{a})^2 + (b-\frac{1}{b})^2 + (c-\frac{1}{c})^2 &= (b-\frac{1}{a})^2 + (c-\frac{1}{b})^2 + (a-\frac{1}{c})^2 + \left(\frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c} - 3\right),\\[1mm]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/dcd5a8277c9a06d55a55229fff31de17.png "(a-\frac{1}{a})^2 + (b-\frac{1}{b})^2 + (c-\frac{1}{c})^2 &= (b-\frac{1}{a})^2 + (c-\frac{1}{b})^2 + (a-\frac{1}{c})^2 + \left(\frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c} - 3\right),\\[1mm]")
![(a-\frac{1}{a})^2 + (b-\frac{1}{b})^2 + (c-\frac{1}{c})^2 &= (b-\frac{1}{a})^2 + (c-\frac{1}{b})^2 + (a-\frac{1}{c})^2 + {\color {red} \textbf{2}}\left(\frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c} - 3\right),\\[1mm]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/e79e5f0f51d6c420d3f08265ad934eaf.png "(a-\frac{1}{a})^2 + (b-\frac{1}{b})^2 + (c-\frac{1}{c})^2 &= (b-\frac{1}{a})^2 + (c-\frac{1}{b})^2 + (a-\frac{1}{c})^2 + {\color {red} \textbf{2}}\left(\frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c} - 3\right),\\[1mm]")
, προκύπτει ότι 
.
![\displaystyle
x^2+y^2+z^2 \ge 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}.](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/dd09d01d309c8f4c15de49af58f25f0d.png "\displaystyle
x^2+y^2+z^2 \ge 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}.")
, προκύπτει
για τους θετικούς αριθμούς
έχουμε
έχουμε 
, όπως θέλαμε.