IMC 1996/2/1

#1

Έστω συνεχής συνάρτηση $f:[0,1] \to [0,1]$ και $x_0 \in [0,1]$ . Ορίζουμε την ακολουθία (x_n)

επαγωγικά με $x_{n+1} = f(x_n)$ για $n \geqslant 0$ . Να δειχθεί ότι η ακολουθία συγκλίνει αν και μόνο αν $\displaystyle{\lim_{n\to \infty} (x_{n+1}-x_n) = 0.}$

peter · #2

Έστω ότι $x_{n+1}-x_n\to 0$ . Τότε $f(x_n)-x_n\to 0$ . Παρατηρούμε ότι κάθε οριακό σημείο της (x_n)

είναι σταθερό σημείο της

. Έστω ότι η (x_n)

δεν είναι συγκλίνουσα. Τότε, $0\leq a=\liminf x_n<\limsup x_n=b\leq 1$ . Άρα, το διάστημα [a,b]

είναι μη τετριμμένο. Από το θεώρημα Baroni έπεται ότι κάθε $x\in [a,b]$ είναι σταθερό σημείο της

. Επιπλέον, υπάρχει $n_0\in \mathbb N$ ώστε $x_{n_0}\in (a,b)$ . Εφαρμόζοντας διαδοχικά την

στο $x_{n_0}$ παίρνουμε όλους τους επόμενους όρους της (x_n)

ίσους με $x_{n_0}$ , δηλαδή η (x_n)

είναι τελικά σταθερή, άτοπο.

To αντίστροφο είναι άμεσο.

IMC 1996/2/1

IMC 1996/2/1

Re: IMC 1996/2/1

Μέλη σε σύνδεση