Πηλίκο

Tolaso J Kos · #1

Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\prod_{k=1}^{n}\left ( x+k \right )^k}$ .
Να βρεθεί η τιμή του πηλίκου $\displaystyle{\frac{f'(0)}{f(0)}}$ συναρτήσει του

.

Σ. Διονύσης · #2

Αρχικά, η

είναι προφανώς θετική κοντά στο

, όπου και θα εργαστούμε, οπότε δεν έχουμε και πρόβλημα με το πεδίο ορισμού.
Άρα:

$\displaystyle{ln(f(x))=\sum_{k=1}^{n}k ln(x+k)}$
Και με απλή παραγώγιση:

$\displaystyle{\frac{f'(x)}{f(x)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{x+k}}$

Δηλαδή με μια απλή αντικατάσταση:

$\displaystyle{\frac{f'(0)}{f(0)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{0+k}=n}$

#3

Tolaso J Kos έγραψε:Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\prod_{k=1}^{n}\left ( x+k \right )^k}$ .
Να βρεθεί η τιμή του πηλίκου $\displaystyle{\frac{f'(0)}{f(0)}}$ συναρτήσει του .

Αλλιώς για χάρη της ποικιλίας:

Το

ως πολυώνυμο γράφεται a_Nx^N + ... + a_1x + a_0

. Παρατηρούμε ότι $f(0)=a_0, \, f'(0)=a_1$ , οπότε η ζητούμενη παράσταση ισούται με a_1/a_0

. Αλλά από Vieta αυτό ισούται με $\displaystyle{- \frac {1}{r_1} - \frac {1}{r_2} -...- \frac {1}{r_N} \, (*)}$ , όπου
$r_1, ...\, r_N$ η ρίζες του

, μαζί με τις πολλαπλότητες.

Προφανώς οι ρίζες είναι οι $-1, \, -2, \, ... \, , -n$ με πολλαπλότητες $1, \, 2, \, ...\, , n$ αντίστοιχα. Άρα το άθροισμα (*)

ισούται $\displaystyle{- \frac {1}{-1} - \frac {2}{-2} -...- \frac {n}{-n} = 1+1+...+1=n}$ .

Φιλικά,

Μιχάλης

Πηλίκο

Πηλίκο

Re: Πηλίκο

Re: Πηλίκο

Μέλη σε σύνδεση