IMC 2016/2/2

#1

Σήμερα ο Ιβάν ο εξομολόγος προτιμά τις συνεχείς συναρτήσεις $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ οι οποίες ικανοποιούν την συνθήκη $f(x) + f(y) \geqslant |x-y|$ για όλα τα ζεύγη $x,y \in [0,1]$ .

Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή που μπορεί να πάρει το $\displaystyle{\int_0^1 f(x) \, \mathrm{d}x}$ αν η

είναι προτιμητέα συνάρτηση.

chris · #2

Θέτουμε στην αρχική όπου $\displaystyle y \rightarrow x+ \frac{1}{2}$ και παίρνουμε:

$\displaystyle f(x)+f\left ( x+\frac{1}{2} \right )\geq \frac{1}{2}$ και ολοκληρώνοντας έχουμε:
$\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}}\left ( f(x)+f\left ( x+\frac{1}{2} \right ) \right )dx\geq \frac{1}{4}$
Όμως:
$\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}}\left ( f(x)+f\left ( x+\frac{1}{2} \right ) \right )dx = \int_{0}^{\frac{1}{2}}f(x)dx +\int_{0}^{\frac{1}{2}}f\left ( x+\frac{1}{2} \right )dx=\int_{0}^{\frac{1}{2}}f(x)dx +\int_{\frac{1}{2}}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}f(x)dx\geq \frac{1}{4}$

Αρκεί να αποδειχτεί ότι πιάνεται η τιμή αυτή ώστε αυτό να είναι το ζητούμενο ελάχιστο.
Πράγματι με λίγο ψάξιμο η συνάρτηση :

$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{matrix} \displaystyle x-\frac{1}{2}, \;\;\; \frac{1}{2}\leq x\leq 1 & \\ \displaystyle \frac{1}{2}-x, \;\;\; 0\leq x<\frac{1}{2} & \end{matrix}\right.$

ικανοποιεί και τα δεδομένα και το ολοκλήρωμά της πιάνει αυτή την τιμή.

(*): αρχικά είχα κάνει αντικατάσταση με x+c

ώσπου να εντοπίσω τη σταθερά που βολεύει. Μετά από λίγο κόπο αποδείχτηκε πως ήταν ένα αναμενόμενο νούμερο(αν κρίνουμε από παρόμοια θέματα) για το ζητούμενο διάστημα...

IMC 2016/2/2

IMC 2016/2/2

Re: IMC 2016/2/2

Μέλη σε σύνδεση