IMC 1995/1/5

#1

Έστω $n \times n$ πραγματικοί πίνακες A,B

. Έστω επίσης n+1

διακεκριμένοι πραγματικοί αριθμοί $t_1,\ldots,t_{n+1}$ ώστε οι πίνακες C_i = A + t_iB

να είναι μηδενοδύναμοι για κάθε $1 \leqslant i \leqslant n$ . (Δηλαδή C_i^n = 0

.)

Να δειχθεί ότι οι A,B

είναι επίσης μηδενοδύναμοι.

Zarifis · #2

Αφού ο C_i είναι nilpotent τότε όλες οι ιδιοτιμές είναι 0.Άρα
$tr(A+t_iB)^j =0\ \forall j,i<n+2$ , Αν υποθέσουμε ότι αυτά είναι πολυώνυμα ως προς το t τότε για κάθε δύναμη έχουμε n+1 ρίζες άρα ταυτίζεται με το μηδενικό πολυώνυμο (μέγιστη δύναμη το n), σε κάθε δύναμη ο πρώτος κι ο τελευταίο όρος είναι το trA^i

,

κι όλα είναι 0.
ξέρουμε πως όταν τα $trA^i =trB^i\ \forall i$ τότε το χαρακτιριστικά πολυώνυμα είναι ίδια κι σε αυττή την περίπτωση ίδια με κάποιου nillpotent τάξεις n άρα είναι nillpotent.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Πιο απλά(την έχω λύσει από καιρό άλλα ξέχασα να την δημοσιεύσω)

Θεωρούμε το πολυώνυμο με συντελεστές πίνακες

$f(t)=(A+tB)^{n}=A^{n}+.....+t^{n}B^{n}$

Αφού $f(t_{i})=0 , 1\leq i\leq n+1$

το πολυώνυμο είναι το μηδενικό.

(το βλέπουμε παιρνώντας τα

μέσα στους πίνακες)

Αρα $A^{n}=B^{n}=0$

που δείχνει ότι οι πίνακες είναι μηδενοδύναμοι

#4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Πιο απλά(την έχω λύσει από καιρό άλλα ξέχασα να την δημοσιεύσω)

Θεωρούμε το πολυώνυμο με συντελεστές πίνακες

$f(t)=(A+tB)^{n}=A^{n}+.....+t^{n}B^{n}$

Αφού $f(t_{i})=0 , 1\leq i\leq n+1$

το πολυώνυμο είναι το μηδενικό.

(το βλέπουμε παιρνώντας τα μέσα στους πίνακες)

Αρα $A^{n}=B^{n}=0$

που δείχνει ότι οι πίνακες είναι μηδενοδύναμοι

Πολύ ωραίο!

IMC 1995/1/5

IMC 1995/1/5

Re: IMC 1995/1/5

Re: IMC 1995/1/5

Re: IMC 1995/1/5

Μέλη σε σύνδεση