Vojtech Jarnik 2017/1 Category I

#1

Έστω συνεχής συνάρτηση $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ η οποία ικανοποιεί την σχέση f(x+2y) = 2f(x)f(y)

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

Να αποδειχθεί ότι η

είναι σταθερή.

raf616 · #2

Demetres έγραψε:Έστω συνεχής συνάρτηση $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ η οποία ικανοποιεί την σχέση για κάθε $x,y \in \mathbb{R}$ .

Να αποδειχθεί ότι η είναι σταθερή.

Γεια σας κ. Δημήτρη! Δε μου χρειάστηκε η συνέχεια.

Εναλλάσσοντας τα x, y

λαμβάνουμε f(y + 2x) = 2f(y)f(x)

για κάθε $x, y \in \Bbb{R}$ .

Επομένως f(x + 2y) = f(y + 2x)

για κάθε $x, y \in \Bbb{R}$ .

Θέτοντας σ' αυτήν y = -2x

είναι

για κάθε $x \in \Bbb{R}$ από όπου για

το

παίρνουμε

για κάθε $x \in \Bbb{R}$ , δηλαδή η

είναι σταθερή.

#3

raf616 έγραψε: Γεια σας κ. Δημήτρη! Δε μου χρειάστηκε η συνέχεια.

Εγώ το πήγα με βάση την επίσημη λύση:

Θέτω y=0

και παίρνω f(x) = 2f(x)f(0)

. Αν

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ τότε τελείωσα. Αλλιώς, πρέπει f(0) = 1/2

. Τώρα θέτω x=0

και παίρνω f(2y) = f(y)

για κάθε $y \in \mathbb{R}$ . Επαγωγικά παίρνω f(y) = f(y/2^n)

για κάθε $y \in \mathbb{R}$ και κάθε $n \in \mathbb{N}$ . Παίρνοντας όρια και χρησιμοποιώντας την συνέχεια της

καταλήγουμε στην f(y) = f(0)

για κάθε $y \in \mathbb{R}$ .

AlexandrosG · #4

Η παρακάτω λύση δεν συγκρίνεται με την απλότητα των προηγούμενων.

Έχουμε $\displaystyle{2f(x)f(y+z)=f(x+2(y+z))=f(x+2y+2z)=2f(x+2y)f(z)=4f(x)f(y)f(z)}$ Είτε η

είναι ταυτοτικά

ή $\displaystyle{2f(y+z)=4f(y)f(z)}$ . Από εδώ κλασικά μέσω της συναρτησιακής εξίσωσης του Cauchy βρίσκουμε $\displaystyle{2f(x)=e^{ax}}$ . Βάζοντας την στην εξίσωση προκύπτει ότι a=0

. Τελικά οι λύσεις είναι οι σταθερές

και

.

Vojtech Jarnik 2017/1 Category I

Vojtech Jarnik 2017/1 Category I

Re: Vojtech Jarnik 2017/1 Category I

Re: Vojtech Jarnik 2017/1 Category I

Re: Vojtech Jarnik 2017/1 Category I

Μέλη σε σύνδεση