MIPT 2013 2/1

Mikesar · #1

Έστω ορθογώνιος πίνακας

και δύο συμπληρωματικοί τετραγωνικοί υποπίνακές του B,C

, δηλαδή $A=\begin{pmatrix} B & \ast \\ \ast & C\end{pmatrix}$ . Δείξτε ότι $\det{B}=0$ αν και μόνο αν $\det{C}=0$ .

#2

Έστω ότι ο

είναι $k \times k$ με $\det(B) = 0$ . Αφού $\det(B) = 0$ μπορούμε να βρούμε κάποιες σειρές του

, έστω χωρίς βλάβη της γενικότητας οι $r_1(B),\ldots,r_m(B)$ με άθροισμα

.

Κοιτάζουμε τώρα το άθροισμα $u = r_1 + \cdots + r_m$ των πρώτων σειρών του

. Το

, στις πρώτες

θέσεις έχει μηδενικά. Στις υπόλοιπες θέσεις δεν μπορεί να έχει παντού μηδενικά αφού από την συνθήκη ότι ο

είναι ορθογώνιος έχουμε $u \cdot u = m > 0$ .

Έστω

το διάνυσμα που λαμβάνεται από τις τελευταίες n-k

θέσεις του

. Αυτό, όπως δείξαμε, είναι μη μηδενικό. Επειδή ο

είναι ορθογώνιος, έχουμε $u \cdot r_i = 0$ για κάθε $k+1 \leqslant i \leqslant n$ . Επειδή όμως στις πρώτες

θέσεις το

έχει μηδενικά, παίρνουμε $v \cdot r_i(C) = 0$ για κάθε σειρά r_i(C)

του

.

Αυτό σημαίνει ότι οι σειρές του

ανήκουν στον (n-k-1)

-διάστατο χώρο $\displaystyle{ V^{\perp} = \{w \in \mathbb{R}^{n-k} : w \cdot v = 0\}.}$ Αλλά τότε οι n-k

σειρές του

είναι γραμμικώς εξαρτημένες και άρα $\det(C) = 0$ .