Διαγωνισμός επιλογής ομάδας SEEMOUS
Συντονιστής: Demetres
Διαγωνισμός επιλογής ομάδας SEEMOUS
Χτες ήταν ο ομώνυμος με τον τίτλο διαγωνισμός για την επιλογή της ομάδας στο έκπα, βάζω τα θέματα να τα συζητήσουμε:
Πρόβλημα 1:
Δείξτε ότι υπάρχουν άπειροι θετικοί πραγματικοί x, για τους οποίους το άπειρο άθροισμα:
να είναι ρητός αριθμός.
Πρόβλημα 2:
Έστω το σύνολο των πινάκων με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς με την εξής ιδιότητα: υπάρχει μη μηδενικό πολυώνυμο με μη αρνητικούς πραγματικούς συντελεστές έτσι ώστε .Έστω επίσης το σύνολο των συμμετρικών πινάκων.Για ποιους ακέραιους ν ισχύει:
(α) ;
(β)
Πρόβλημα 3:
Δίνονται με .Για ποιά υπάρχει συνεχής, αύξουσα συνάρτηση , όχι ταυτοτικά μηδέν, έτσι ώστε:
;
Πρόβλημα 4:
Για ποιά υπάρχει πίνακας με στοιχεία ρητούς έτσι ώστε:
Πρόβλημα 5:
Θεωρούμε πίνακες με στοιχεία ακέραιους αριθμούς, τέτοιους ώστε
και , και θέτουμε . Δείξτε ότι υπάρχει θετικός ακέραιος k
για τον οποίο όλα τα στοιχεία του πίνακα
είναι ακέραιοι αριθμοί.
edit:μια διόρθωση στο 3.
Πρόβλημα 1:
Δείξτε ότι υπάρχουν άπειροι θετικοί πραγματικοί x, για τους οποίους το άπειρο άθροισμα:
να είναι ρητός αριθμός.
Πρόβλημα 2:
Έστω το σύνολο των πινάκων με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς με την εξής ιδιότητα: υπάρχει μη μηδενικό πολυώνυμο με μη αρνητικούς πραγματικούς συντελεστές έτσι ώστε .Έστω επίσης το σύνολο των συμμετρικών πινάκων.Για ποιους ακέραιους ν ισχύει:
(α) ;
(β)
Πρόβλημα 3:
Δίνονται με .Για ποιά υπάρχει συνεχής, αύξουσα συνάρτηση , όχι ταυτοτικά μηδέν, έτσι ώστε:
;
Πρόβλημα 4:
Για ποιά υπάρχει πίνακας με στοιχεία ρητούς έτσι ώστε:
Πρόβλημα 5:
Θεωρούμε πίνακες με στοιχεία ακέραιους αριθμούς, τέτοιους ώστε
και , και θέτουμε . Δείξτε ότι υπάρχει θετικός ακέραιος k
για τον οποίο όλα τα στοιχεία του πίνακα
είναι ακέραιοι αριθμοί.
edit:μια διόρθωση στο 3.
Αρμενιάκος Σωτήρης
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Διαγωνισμός επιλογής ομάδας SEEMOUS
Θέτουμε
Είναι
για
Αρα η
είναι συνεχής .
Το
είναι διάστημα και το αποτέλεσμα έπεται.
(προφανώς δεν είναι σταθερή)
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Διαγωνισμός επιλογής ομάδας SEEMOUS
Έστω το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του . Το έχει ακέραιους συντελεστές.
Λήμμα: Για κάθε θετικό ακέραιο μπορούμε να γράψουμε
όπου οι ακολουθίες ακεραίων ικανοποιούν την αναδρομική σχέση
μαζί με τις αρχικές συνθήκες και για με .
Απόδειξη λήμματος: Θα το δείξουμε με ισχυρή επαγωγή. Ο ισχυρισμός είναι άμεσος για . Έστω λοιπόν ότι ισχύει για . Θα δείξουμε ότι ισχύει και για .
Επειδή έχουμε άρα και . Άρα από την επαγωγική υπόθεση
όπου
Δηλαδή ο ισχυρισμός ισχύει και για .
Κοιτάμε τώρα κάθε μία από τις ακολουθίες modulo . (Αγνοούμε την .) Κάθε μια από αυτές ικανοποιεί την αναδρομική σχέση οπότε είναι περιοδική. (Δείτε στην τελευταία παράγραφο γιατί.) Έστω ότι η είναι περιοδική με περίοδο . Τότε θα έχουμε για κάθε πολλαπλάσιο του . Θέτουμε και παρατηρούμε ότι για κάθε .
Από το λήμμα έχουμε
άρα και
Ο πίνακας έχει ακέραια στοιχεία επειδή το ίδιο ισχύει για κάθε ένα από τους . Για όλα τα στοιχεία είναι πολλαπλάσια του . Το ίδιο όμως ισχύει και για αφού ο πίνακας θα είναι ο .
Άρα όλα τα στοιχεία του είναι ακέραια πολλαπλάσια του και άρα όλα τα στοιχεία του είναι ακέραια.
Σημείωση: Δεν χρησιμοποιήσαμε πουθενά το γεγονός ότι .
Προσθήκη αργότερα: Όπως με ενημέρωσε με π.μ. ο Αντώνης Ζητρίδης, χρειάζεται τελικά το για να δείξω ότι η αναδρομική σχέση δίνει περιοδική ακολουθία.
Έστω λοιπόν ότι έχω μια αναδρομική ακολουθία που ικανοποιεί την σχέση modulo κάποιον φυσικό . Από περιστερώνα θα υπάρχουν δύο υπακολουθίες συνεχόμενων όρων οι οποίες θα είναι ακριβώς οι ίδιες. Δηλαδή θα υπάρχουν ώστε . Επαγωγικά είναι απλό ότι για κάθε φυσικό . Για να δείξουμε όμως για κάθε φυσικό πρέπει να μπορούμε να πάμε και προς τα πίσω. Για να γίνει αυτό πρέπει να μπορούμε να λύσουμε την αναδρομική σχέση ως προς . Αυτό γίνεται αν το είναι αντιστρέψιμο modulo διότι τότε θα έχουμε . Στην περίπτωσή μας, λόγω του ο συγκεκριμένος συντελεστής ισούται με ή οπότε παίρνουμε την περιοδικότητα της ακολουθίας.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Διαγωνισμός επιλογής ομάδας SEEMOUS
Κάνοντας αλλαγή μεταβλητών η σχέση μπορεί να γραφεί
(1)
Επειδή η είναι αύξουσα από γνωστή ανισότητα έχουμε
https://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev ... inequality
συμπεραίνουμε ότι
Αν πάρουμε
εύκολα βλέπουμε ότι ικανοποιεί την (1) και είναι αύξουσα.
Η απάντηση είναι
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Διαγωνισμός επιλογής ομάδας SEEMOUS
sot arm έγραψε: ↑Κυρ Ιαν 27, 2019 9:09 pmΠρόβλημα 2:
Έστω το σύνολο των πινάκων με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς με την εξής ιδιότητα: υπάρχει μη μηδενικό πολυώνυμο με μη αρνητικούς πραγματικούς συντελεστές έτσι ώστε .Έστω επίσης το σύνολο των συμμετρικών πινάκων.Για ποιους ακέραιους ν ισχύει:
(α) ;
(β)
Ομορφούλα.
Παρατηρούμε ότι αν ο πίνακας έχει μια θετική ιδιοτιμή τότε δεν μπορεί να ανήκει στον . Πράγματι, αν τότε το είναι πολλαπλάσιο του ελάχιστου πολυωνύμου . Πρέπει άρα και . Τότε όμως το δεν μπορεί να έχει μη αρνητικούς πραγματικούς συντελεστές εκτός και αν είναι το μηδενικό πολυώνυμο, άτοπο.
Θα δείξουμε πρώτα το (β). Αν ο είναι συμμετρικός, τότε θα έχει πραγματικές ιδιοτιμές. Αν επιπλέον ανήκει και στο τότε όλες του οι ιδιοτιμές πρέπει να είναι μη θετικές. Τότε όμως ήδη το ελάχιστο πολυώνυμο του έχει όλους τους συντελεστές του μη αρνητικούς αφού είναι της μορφής όπου για κάθε .
Αν τότε πρέπει και . Σε αντίθετη περίπτωση ο πρέπει να έχει τουλάχιστον μία θετική ιδιοτιμή . Έστω το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα. Τότε που δίνει ότι ή . Χωρίς βλάβη της γενικότητας είναι . Έστω μια βάση ιδιοδιανυσμάτων του με αντίστοιχες ιδιοτιμές . (Υπάρχει επειδή συμμετρικός.) Γράφουμε και παρατηρούμε ότι , άτοπο.
Άρα το (β) ισχύει για κάθε .
Πάμε τώρα στο (α). Είναι άμεσο ότι ισχύει για αφού αν και μόνο αν με . Θα δείξουμε ότι δεν ισχύει για τα υπόλοιπα .
Θέτουμε και
Τα χαρακτηριστικά πολυώνυμά τους είναι και . Παρατηρούμε ότι αφού μπορούμε να πάρουμε για τον και για τον .
Όμως ο οποίος έχει ως ιδιοτιμή το . Άρα από την πρώτη παράγραφο έχουμε .
Με παρόμοιο τρόπο έχουμε παραδείγματα για κάθε κατασκευάζοντας πίνακες που έχουν παντού μηδενικά εκτός από τις θέσεις του πάνω αριστερά υποπίνακα όπου τοποθετούμε τους πίνακες του παραδείγματός μας.
Άρα το (α) ισχύει μόνο για .
Re: Διαγωνισμός επιλογής ομάδας SEEMOUS
Αυτό είναι ζόρικο για 3ωρο διαγωνισμό, υπό την έννοια ότι ο είναι ένας άσχημος πίνακας και ο υπολογισμός του θέλει δουλειά (πόσο μάλλον η επαλήθευση).
Αρχικά υποθέτουμε . Είναι ,
οπότε υπάρχει ρητός ώστε (θα είναι ). Θα αποδείξουμε πως για κάθε αυτής της μορφής υπάρχει τέτοιος πίνακας . Πράγματι, ο διαγωνοποιείται ως:
όπου έχουμε
.
Άρα
και άρα μπορούμε να πάρουμε
Για τώρα, μπορούμε να βρούμε και πάλι ιδιοδιανύσματα με ρητές συντεταγμένες για τον (οι στήλες του πίνακα διαγωνοποίησης παραπάνω), έστω που αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές , , και . Τότε το , το ή το είναι μια βάση γενικευμένων ιδιοδιανυσμάτων για τον (γιατί;) με ρητές συντεταγμένες. Άρα αν ο έχει ρητά στοιχεία, τότε το ίδιο ισχύει και για τη Jordan μορφή του, που προφανώς δεν ισχύει ποτέ αφού το είναι ιδιοτιμή (ένα απ' τα δύο).
Η απάντηση τελικά είναι: για ρητό .
Κολλιοπουλος Νικος.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Re: Διαγωνισμός επιλογής ομάδας SEEMOUS
Μπράβο σε όλους για τις λύσεις, βάζω και την επίσημη λύση για το πρόβλημα 5 που διαφέρει από αυτή του κυρίου Δημήτρη.
Αρχικά, ξέρουμε από τον γνωστό τύπο για τον αντίστροφο του ότι όπου και ο υποθέτουμε χωρίς βλάβη
και κάνοντας αναγωγή των στοιχείων του modulo m μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ο είναι στοιχείο της ομάδας των αντιστρέψιμων πινάκων με στοιχεία από το , αφού . Αφού η ομάδα αυτή είναι πεπερασμένη, ο Α έχει πεπερασμένη τάξη, επομένως έπεται ότι υπάρχει ακέραιος τέτοιος ώστε:
όπου ο έχει ακέραια στοιχεία, το ζητούμενο έπεται.
Edit:ειχε φύγει ενα εις την κ, αλά Σιδηρόπουλο
Αρχικά, ξέρουμε από τον γνωστό τύπο για τον αντίστροφο του ότι όπου και ο υποθέτουμε χωρίς βλάβη
και κάνοντας αναγωγή των στοιχείων του modulo m μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ο είναι στοιχείο της ομάδας των αντιστρέψιμων πινάκων με στοιχεία από το , αφού . Αφού η ομάδα αυτή είναι πεπερασμένη, ο Α έχει πεπερασμένη τάξη, επομένως έπεται ότι υπάρχει ακέραιος τέτοιος ώστε:
όπου ο έχει ακέραια στοιχεία, το ζητούμενο έπεται.
Edit:ειχε φύγει ενα εις την κ, αλά Σιδηρόπουλο
Αρμενιάκος Σωτήρης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες