IMC 2019/1/5

#1

Να εξεταστεί αν υπάρχει περιττός ακέραιος

και $n \times n$ πίνακες A,B

με ακέραια στοιχεία οι οποίοι ικανοποιούν όλες τις πιο κάτω συνθήκες:

1) $\det(B) = 1$ .
2) AB = BA

.
3)

.

dement · #2

Εύκολα αποδεικνύεται το

Λήμμα: Για κάθε $A, B \in M_m (\mathbb{Z})$ και $n \in \mathbb{Z}$ ισχύει $\det(A+nB) \equiv \det(A) \mod n$ .

Λαμβάνοντας υπόψη την αντιμεταθετικότητα, η αρχική συνθήκη γράφεται ως MN = 2019I

, όπου $M = A^2 + 2AB + 4B^2, \ N = A^2 - 2AB + 4B^2$ . Έτσι, M-N = 4 A B

και, από το λήμμα, $\det(M) \equiv \det(N) \mod 4 \implies \det(MN) \equiv 0 \vee \det(MN) \equiv 1 \mod 4$ .

Αλλά $\det(2019I) = 2019^n \equiv 3 \mod 4$ για

περιττό, οπότε έχουμε άτοπο. Άρα δεν υπάρχουν οι πίνακες.

IMC 2019/1/5

IMC 2019/1/5

Re: IMC 2019/1/5

Μέλη σε σύνδεση