IMC 2021/3

#1

Ονομάζουμε έναν θετικό πραγματικό αριθμό

καλό αν υπάρχει μια άπειρη ακολουθία $a_1,a_2,a_3,\ldots \in (0,d)$ έτσι ώστε για κάθε

τα σημεία $a_1,a_2,\ldots,a_n$ διαμερίζουν το διάστημα [0,d]

σε τμήματα μήκους το πολύ 1/n

το κάθε ένα.

Να βρεθεί το $\sup\{d:d \text{ \gr καλός}\}$

Ορέστης Λιγνός · #2

Demetres έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 12, 2021 4:37 pm
Ονομάζουμε έναν θετικό πραγματικό αριθμό καλό αν υπάρχει μια άπειρη ακολουθία $a_1,a_2,a_3,\ldots \in (0,d)$ έτσι ώστε για κάθε τα σημεία $a_1,a_2,\ldots,a_n$ διαμερίζουν το διάστημα σε τμήματα μήκους το πολύ το κάθε ένα.

Να βρεθεί το $\sup\{d:d \text{ \gr καλός}\}$

Η απάντηση είναι $\sup\{d:d \text{ \gr καλός}\}=\ln 2$ .

Μέρος 1ο: Αν ο

είναι καλός τότε $d \leq \ln 2$ .

Για κάθε

, έστω

η αναδιάταξη των a_i

τέτοια ώστε $b_i \leq b_j$ αν i<j

. Έστω επίσης $b_0=1, b_{n+1}=d$ και $c_i=b_{i+1}-b_i$ για $0 \leq i \leq n$ . Τότε είναι $c_i \leq 1/n$ για κάθε

.

Όταν προσθέσουμε τον $a_{n+1}$ πρέπει τα n+1

διαστήματα που δημιουργούνται να είναι όλα μήκους το πολύ 1/(n+1)

. Όμως, με την προσθήκη μόνο ενός στοιχείου, ακριβώς

από τα

διαστήματα που είχαμε πριν θα παραμείνουν του ίδιου μήκους. Οπότε για τουλάχιστον

δείκτες

ισχύει $c_i \leq 1/(n+1)$ .

Όμοια, όταν προσθέσουμε τα $a_{n+1},a_{n+2}$ τουλάχιστον n-1

από τα

διαστήματα που είχαμε πριν θα παραμείνουν του ίδιου μήκους, οπότε για τουλάχιστον n-1

δείκτες

ισχύει $c_i \leq 1/(n+2)$ .

Γενικά, για τουλάχιστον n-k

δείκτες

ισχύει $c_i \leq 1/(n+k+1)$ , με $k \in \{0,1, \ldots, n-1 \}$ .

Συμπεραίνουμε ότι $c_1+c_2+\ldots+c_{n+1} \leq \frac{1}{n}+\frac{1}{n+2}+\ldots+\frac{1}{2n}$ . Όμως είναι $d=\displaystyle \sum_{i=1}^{n} c_i$ , άρα $c \leq \dfrac{1}{n}+\ldots +\dfrac{1}{2n}$ .

Όμως, είναι $\dfrac{1}{n}+\ldots+\dfrac{1}{2n}=H_{2n}-H_n$ , και $H_{2n}-\ln(2n) \rightarrow \gamma$ , $H_n-\ln n \rightarrow \gamma$ , (όπου $\gamma$ η σταθερά Euler-Mascheroni), άρα και $(H_{2n}-\ln(2n))-(H_n-\ln n) \rightarrow 0$ , οπότε $H_{2n}-H_n \rightarrow \ln 2$ για $n \rightarrow +\infty$ , συνεπώς $d \leq \ln 2$ , όπως θέλαμε.

Μέρος 2ο: Ο $d=\ln 2$ είναι καλός. Αποδεικνύουμε το εξής:

Ισχυρισμός: Μπορούμε να επιλέξουμε τα a_i

ώστε, μετά την επιλογή των $a_1,a_2,\ldots,a_n$ , τα n+1

διαστήματα που δημιουργούνται να είναι μήκους $\ln(\dfrac{n+2}{n+1}),\ln(\dfrac{n+3}{n+2}),\ldots, \ln(\dfrac{2n+2}{2n+1})$ , για κάθε

.
Απόδειξη: Για n=1

είναι προφανές. Έστω ότι για $n \leq k$ έχουμε επιλέξει κατάλληλα τα $a_1,a_2, \ldots, a_k$ . Τότε, έχουμε k+1

τμήματα μήκους:

$\ln(\dfrac{k+2}{k+1}),\ln(\dfrac{k+3}{k+2}),\ldots, \ln(\dfrac{2k+2}{2k+1})$ , και θέλουμε να προσθέσουμε το $a_{k+1}$ έτσι ώστε να προκύψουν k+2

τμήματα μήκους

$\ln(\dfrac{k+3}{k+2}),\ln(\dfrac{k+4}{k+3}),\ldots, \ln (\dfrac{2k+4}{2k+3})$ . Αυτό μπορούμε να το πετύχουμε αν ''σπάσουμε'' το τμήμα μήκους $\ln(\dfrac{k+2}{k+1})$ σε δύο τμήματα μήκους $\ln(\dfrac{2k+3}{2k+2}),\ln(\dfrac{2k+4}{2k+3})$ . $\blacksquare$

Πίσω στο πρόβλημα, ουσιαστικά μένει να δείξουμε ότι $\max(\ln(\dfrac{n+2}{n+1}),\ln(\dfrac{n+3}{n+2}),\ldots, \ln(\dfrac{2n+2}{2n+1})) \leq 1/n$ , για κάθε

. Προφανώς το αριστερό μέλος ισούται με $\ln(\dfrac{n+2}{n+1})$ (όλα τα στοιχεία είναι της μορφής $1+\dfrac{1}{i}$ με $i \in \{n+1,\ldots,2n+1 \}$ και αυτό γίνεται μέγιστο για i=n+1

), και είναι:

$\ln(\dfrac{n+2}{n+1})=\ln(1+\dfrac{1}{n+1}) \leq \dfrac{1}{n+1} <\dfrac{1}{n}$ , και τελειώσαμε.

IMC 2021/3

IMC 2021/3

Re: IMC 2021/3

Μέλη σε σύνδεση