Putnam 2013/A3

#1

Δίνονται πραγματικοί αριθμοί $a_0,a_1,\ldots,a_n$ και

με

οι οποίοι ικανοποιούν την σχέση

$\displaystyle{ \frac{a_0}{1-x} + \frac{a_1}{1-x^2} + \cdots + \frac{a_n}{1-x^{n+1}} = 0}$

Να δειχθεί ότι υπάρχει 0 < y < 1

ώστε

$\displaystyle{ a_0 + a_1y + \cdots + a_ny^n = 0}$

dement · #2

Έστω $\displaystyle P(y) \equiv \sum_{k=0}^n a_k y^k$ .

Ισχύει ότι $\displaystyle 0 = \sum_{k=0}^{n} \frac{a_k}{1 - x^{k+1}} = \sum_{k=0}^{n} a_k \sum_{m=0}^{\infty} x^{(k+1)m} = \sum_{m=0}^{\infty} x^m \sum_{k=0}^{n} a_k (x^m)^k = \sum_{m=0}^{\infty} x^m P(x^m)$ λόγω απόλυτης σύγκλισης.

Αν τα P(x^m), m > 0

δεν είναι όλα ομόσημα, το ζητούμενο αποδείχθηκε (είτε P(x^r) = 0

για κάποιο

είτε από Bolzano σε κάποιο διάστημα $(x^{r+1}, x^r)$ ). Διαφορετικά θα είναι όλα ετερόσημα με το P(1)

και θα υπάρχει η ζητούμενη ρίζα στο (x,1)

.

Putnam 2013/A3

Putnam 2013/A3

Re: Putnam 2013.A3

Μέλη σε σύνδεση