MIPT 2013/2/2

Mikesar · #1

Έστω ακολουθία πραγματικών αριθμών (x_n)

ώστε η ακολουθία $(3x_{n+1}-2x_n)$ να συγκλίνει. Να αποδειχθεί ότι η ακολουθία (x_n)

συγκλίνει.

(Πρόκειται για αρκετά γνωστό θέμα αλλά το ανεβάζω για λόγους πληρότητας)

dr.tasos · #2

Χωρίς βλάβη $\lim_{n \to \infty}( 3x_{n+1}-2x_{n}) =0$ αν όχι κοιτάω την $x_{n}-L$ όπου $L=\lim_{}( 3x_{n+1}-2x_{n})$

Έστω $\varepsilon >0 , \quad \exists n_0 : \quad \forall n \geq n_0 : \quad | x_{n+1}-\frac{2}{3}x_n| < \varepsilon$

επαγωγικά $\forall p \in \mathbb{N}$ έχω $(\frac{2}{3})^p x_{n_0} -\sum _{k=0}^{p-1} (\frac{2}{3})^k \varepsilon < x_{n_0+p}<(\frac{2}{3})^p x_{n_0} +\sum _{k=0}^{p-1} (\frac{2}{3})^k \varepsilon$

άρα $(\frac{2}{3})^p x_{n_0}-3 \varepsilon < x_{n_0+p}<(\frac{2}{3})^p x_{n_0}+3 \varepsilon$ για

αρκετά μεγάλο έχουμε το ζητούμενο .

MIPT 2013/2/2

MIPT 2013/2/2

Re: MIPT 2013/2/2

Μέλη σε σύνδεση