SEEMOUS 2018/4

#1

(α) Έστω πολυωνυμική συνάρτηση $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ . Να δειχθεί ότι

$\displaystyle \int_0^{\infty} e^{-x}f(x) \, \mathrm{d}x = f(0) + f'(0) + f''(0) + \cdots$
(β) Έστω συνάρτηση

η οποία έχει ανάπτυγμα Taylor στο

με άπειρη ακτίνα σύγκλισης. Να δειχθεί ότι αν το $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} f^{(n)}(0)$ συγκλίνει απόλυτα, τότε και το $\displaystyle \int_0^{\infty} e^{-x}f(x) \, \mathrm{d}x$ συγκλίνει, και

$\displaystyle \int_0^{\infty} e^{-x}f(x) \, \mathrm{d}x = \sum_{n=0}^{\infty} f^{(n)}(0)$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

α)Με μια παραγοντική είναι

$I_{n}=\int_{0}^{\infty }e^{-x}x^{n}dx=n\int_{0}^{\infty }e^{-x}x^{n-1}dx=nI_{n-1}$

Εύκολα τώρα βλέπουμε ότι $I_{n}=n!$

Επειδή $f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k}$

μια ολοκλήρωση μας δίνει το συμπέρασμα.

β)Θα χρησιμοποιήσω βαριά εργαλεία.

Θέτουμε $a_{n}=f^{(n)}(0)$

Είναι $f(x)=\sum_{k=0}^{\infty }\frac{a_{k}}{k!}x^{k}$

Εστω $g(x)=\sum_{k=0}^{\infty }\frac{\left | a_{k} \right |}{k!}x^{k}$

Η

είναι καλά ορισμένη διότι η ακολουθία $(a_{n})_{n\in \mathbb{N}}$
είναι φραγμένη.

Εστω $g_{n}(x)=e^{-x}\sum_{k=0}^{n}\frac{\left | a_{k} \right |}{k!}x^{k}$

Από το α) είναι $\int_{0}^{\infty }g_{n}(x)dx=\sum_{k=0}^{n}\left | a_{k} \right |$

Είναι φανερό ότι η $(g_{n})$ είναι αύξουσα στο $(0,\infty )$

και κατά σημείο έχουμε $g_{n}(x)\rightarrow e^{-x}g(x)$

Από το θεώρημα μονότονης σύγκλισης του Lebesgue έχουμε ότι

$\int_{0}^{\infty }e^{-x}g(x)dx=\sum_{k=0}^{\infty }\left | a_{k} \right |$

Ετσι η $e^{-x}g(x)$ είναι ολοκληρώσιμη (Lebesgue)

Θέτουμε $f_{n}(x)=e^{-x}\sum_{k=0}^{n}\frac{a_{k}}{k!}x^{k}$

Εχουμε ότι $\left | f_{n}(x) \right |\leq \left | e^{-x}g(x) \right |$

και κατά σημείο $f_{n}(x)\rightarrow e^{-x}f(x)$ .

Το θεώρημα κυριαρχιμένης σύγκλισης του Lebesgue καθώς και το α) μας δίνουν το συμπέρασμα.

Παρατήρηση.
Το ότι η ακτίνα σύγκλισης της δυναμοσειράς είναι $\infty$ προκύπτει άμεσα από το ότι η σειρά
$\sum_{k=0}^{\infty }\left | a_{k} \right |$ συγκλίνει.

dement · #3

Το (β) με κάπως ελαφρότερα εργαλεία.

Για κάθε

, η ακολουθία $\displaystyle f_n (t) = \sum_{k=0}^n f^{(k)}(0) \frac{t^k \mathrm{e}^{-t}}{k!}$ συγκλίνει ομοιόμορφα στο [0,x]

από κριτήριο Weierstrass (οι όροι φράσσονται από την $\displaystyle |f^{(k)} (0)| \frac{x^k}{k!}$ με άθροισμα που συγκλίνει). Έτσι, $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} f^{(k)}(0) \int_0^x \frac{t^k \mathrm{e}^{-t}}{k!} \mathrm{d}t = \int_0^x f(t) \mathrm{e}^{-t} \mathrm{d}t$ .

Εξετάζουμε την ακολουθία συναρτήσεων $\displaystyle F_n (x) = \sum_{k=0}^n f^{(k)} (0) \int_0^x \frac{t^k \mathrm{e}^{-t}}{k!} \mathrm{d}t$ .

Αυτή συγκλίνει ομοιόμορφα στο $[0, + \infty)$ λόγω κριτηρίου Weierstrass. Πράγματι, $\displaystyle \int_0^x \frac{t^k \mathrm{e}^{-t}}{k!} \mathrm{d}t \leqslant \int_0^{+ \infty} \frac{t^k \mathrm{e}^{-t}}{k!} \mathrm{d}t = 1$ και $\displaystyle \sum_{k=0}^\infty |f^{(k)}(0)| < + \infty$ .

Λόγω ομοιόμορφης σύγκλισης, αφού υπάρχει το όριο $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \lim_{x \to +\infty} F_n (x) = \sum_{k=0}^\infty f^{(k)} (0)$ , αυτό θα ισούται με $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \lim_{n \to \infty} F_n (x) = \int_0^{+ \infty} f(t) \mathrm{e}^{-t} \mathrm{d} t$ .

SEEMOUS 2018/4

SEEMOUS 2018/4

Re: SEEMOUS 2018/4

Re: SEEMOUS 2018/4

Μέλη σε σύνδεση