Προκριματικός διαγωνισμός Ολυμπιάδας Seemous 2011

Nick1990 · #1

Αύριο είναι ο διαγωνισμός για την επιλογή της ομάδας που θα εκπροσωπίσει φέτος την Ελλάδα στον Seemous.
Μπορούν να λάβουν μέρος μόνο φοιτητές που βρίσκονται στο πρώτο η στο δεύτερο έτος των σπουδών τους.
Γενικές πληροφορίες για τη διεξαγωγή του διαγωνισμού εδώ: http://forum.math.uoa.gr/viewtopic.php?f=753&t=8467
Ανοίγω το τόπικ για να ανεβάσουμε εδώ τα θέματα αύριο και για να συζητήσουμε πάνω σε αυτά.
Επίσης, μη ξεχάσουμε να ευχηθούμε καλή επιτυχία στα παιδιά του φόρουμ που θα πάρουν μέρος, και ειδικότερα στους Ζαδίκ Ηλία, Κώστα Παππέλη και Geοrge13

#2

Καλή επιτυχία σε όσους λάβουν μέρος. Άμα βρείτε χρόνο ανεβάστε και τα θέματα.

Nick1990 · #3

Τα θέματα του διαγωνισμού ήταν τα εξής:

1) Αν A,B

είναι $n \times n$ πίνακες τέτοιοι ώστε:

AB + A + B = 0

Να εκφραστεί το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του

συναρτήσει του χαρακτηριστικού πολυωνύμου του

και της ποσότητας $\det(A + I)$

2) Έστω $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ , 2 φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση ώστε f(0) = f(1) = 0, f{'}(0) > 0

και έστω ακόμα ότι:

$\displaystyle{\left(2\frac{f(x)}{x} - f{'}(x) \right) \left(2\frac{f(y)}{y} - f{'}(y) \right) > \left(\frac{f(x)}{x} + \frac{f(y)}{y} - f{'}(y) \right)^2}$ για κάθε 0 < y < x < 1

(*)

(α) Δείξτε ότι $f{''}(x) \leq 0$ για κάθε $x \in (0, 1)$ , και μάλιστα ότι δεν υπάρχει $(a, b) \subset [0, 1]$ ώστε f''(x) = 0

για κάθε

(β) Βρείτε μια γνήσια κοίλη συνάρτηση

, που να μην ικανοποιεί τη συνθήκη (*).

3) Έστω

το σύνολο των τμηματικά C^1

συνεχών συναρτήσεων

που ορίζονται στο [0, 1]

και για τις οποίες:
f(0) = 1, f(1) = 0

. Έστω

$\displaystyle{k_a = \inf \left\{\int_0^1{x^a(f{'}(x))^2dx} : f \in A \right\}}$

(α) Για 0 < a < 1

δείξτε ότι k_a = 1 - a

και ότι το inf είναι minimum.
(β) Για a > 1

δείξτε ότι k_a = 0

και ότι το inf ΔΕΝ είναι minimum.

Εδώ υπήρχε και μια υπόδειξη η οποία στους περισσότερους που έλυσαν το πρόβλημα δεν ήταν απαραίτητη:
Για $u, v \in A$ ισχύει:
$(u{'}(x))^2 - (v{'}(x))^2 \geq 2v{'}(x)(u{'}(x) - v{'}(x))$

4) Έστω $X = \{1,2,3,...,n\}$ . Μια οικογένεια υποσυνόλων του

ονομάζεται συνεκτική αν:
a) Τα σύνολα που την αποτελούν είναι διακεκριμένα
b) Τα σύνολα που την αποτελούν έχουν ανα δύο μη κενή τομή
Να βρεθεί ο μέγιστος αριθμός υποσυνόλων που μπορεί να έχει μια συνεκτική οικογένεια υποσυνόλων του

.

5) (Ίσως το ποιο όμορφο πρόβλημα που έχω δει ποτέ σε προκριματικό)
Έστω

ένας πρώτος αριθμός και a,b

φυσικοί με a > b

. Γράφουμε τους a,b

σε base

:
$a = a_0 + a_1p + ... + a_rp^r, b = b_0 + b_1p + ... + b_sp^s, 0 \leq a_i, b_i < p$ .
Να δειχτεί ότι:
$\binom{a}{b} = \prod_{i=0}^{r}{\binom{a_i}{b_i}} (modp)$
και ότι
$\binom{a}{b} \neq 0 (modp)$
αν και μόνο αν $a_i \geq b_i \forall i$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Καλά αποτελέσματα σε όσους έδωσαν.

EDIT: Διορθώθηκε τυπογραφικό λάθος στο 3ο πρόβλημα.

Nick1990 · #4

Βάζω σε hide ένα δυνατό hint για τη λύση που βρήκα στο 5ο πρόβλημα:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#5

Nick1990 έγραψε: 5) (Ίσως το ποιο όμορφο πρόβλημα που έχω δει ποτέ σε προκριματικό)
Έστω ένας πρώτος αριθμός και φυσικοί με . Γράφουμε τους σε base :
$a = a_0 + a_1p + ... + a_rp^r, b = b_0 + b_1p + ... + b_sp^s, 0 \leq a_i, b_i < p$ .
Να δειχτεί ότι:
$\binom{a}{b} = \prod_{i=0}^{r}{\binom{a_i}{b_i}} (modp)$
και ότι
$\binom{a}{b} \neq 0 (modp)$
αν και μόνο αν $a_i \geq b_i \forall i$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Στο 5ο βρήκα μια -πιστεύω- αρκετά όμορφη λύση. Θα τη γράψω αργότερα αν είναι.
Καλά αποτελέσματα σε όσους έδωσαν.

Το πρόβλημα 5 είναι γνωστό ως Λήμμα του Lucas.

Το πρώτο βιβλίο στο οποίο το έχω δει που μου έρχεται στο μυαλό (ένεκα ειδίκευσης) είναι του Eisenbud, Commutative Algebra with a view towards geometry, σελ. 355, που έχει μια λύση σε 3 σειρές όμοια με αυτή του Νίκου.

Το έχω δει και σε άλλα βιβλία όμως...

Δείτε, π.χ. A path to combinatorics for undergraduates, Andreescu, Feng, σελ. 59.

Φιλικά,

Αχιλλέας

kostas zemas · #6

Γειά σας παιδιά μόλις χτες γράφτηκα στο forum.Εγραφα και εγώ σήμερα στον εσωτερικό και στο 5α αφού δεν προλάβαινα καθόλου και απλα ανέφερα οτι το ζητούμενο είναι άμεσο καθώς είναι το θεώρημα του Lucas.Προφανώς κατι τέτοιο δεν είναι λύση αλλά τι γίνεται σε αυτές τις περιπτώσεις όταν δηλαδή το ζητούμενο ειναι κάποιο λήμμα ή θεώρημα έστω όχι και τόσο γνωστό?

#7

Κώστα καλωσόρισες στην παρέα μας. Για την απορία σου θεωρώ πως αν το ζητούμενο είναι κάποιο σχετικά άγνωστο λήμμα ή άμεση συνέπειά του τότε πρέπει να αποδειχθεί. Δεν γνωρίζω όμως τα βαθμολογικά κριτήρια για το συγκεκριμένο πρόβλημα.

#8

Το 4 είναι αρκετά απλό. Το μέγιστο είναι $2^{n-1}$ . Μια οικογένεια που λαμβάνει το μέγιστο είναι αυτή που περιέχει όλα υποσύνολα του $\{1,2,\ldots,n\}$ που περιέχουν το 1. Για να δούμε ότι δεν μπορούμε να έχουμε περισσότερα σύνολα διαμερίζουμε τα υποσύνολα του $\{1,2,\ldots,n\}$ σε ζεύγη (A,A^c)

. Υπάρχουν $2^{n-1}$ τέτοια ζεύγη και από κάθε ζεύγος το πολύ ένα σύνολο ανήκει στην οικογένεια.

#9

Για την (1) έχουμε ότι (A+I)(B+I) = I

, οπότε ο

είναι αντιστρέψιμος με $B+I = (A+I)^{-1}$ .

Άρα

$\displaystyle{ \det(B - xI) = \det(B+I - (x+1)I) = \det((A+I)^{-1} - (x+1)I) = \frac{1}{\det(A+I)}\det(I - (x+1)(A+I))}$

$\displaystyle{ \frac{(-1)^n(x+1)^n}{\det(A+I)} \det(A + I - \frac{1}{x+1}I) = \frac{(-1)^n(x+1)^n}{\det(A+I)} P_A\left(-\frac{x}{x+1}\right)}$

όπου P_A(x)

το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του

.

Ωχ

Τώρα είδα ότι ζητάει το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του

και όχι αυτό του

. Έχω δείξει ότι

$\displaystyle{ P_B(x) = \frac{(-1)^n(x+1)^n}{\det(A+I)} P_A\left(-\frac{x}{x+1}\right) }$

επομένως θέτοντας y = -x/(x+1)

παίρνω

$\displaystyle{ P_A(y) = (-1)^n(y+1)^n\det(A+I)P_B\left(-\frac{y}{y+1}\right)}$

Nick1990 · #10

Θεωρώ πως το 2ο πρόβλημα δεν ήταν ιδιαίτερα καλό για τέτοιο διαγωνισμό, οι πολλοί όροι στη συνθήκη δεν προσθέτουν κάποια δυσκολία, απλά το κάνουν να θέλει πιο πολύ δουλειά για να βγει. Με λίγα λόγια, ίσως καλό θέμα για εξετάσεις, όχι όμως για διαγωνισμό.

Στο 3, του οποίου το α) είναι πλέον πασίγνωστο (να σκεφτείτε ότι ένα παρόμοιο ήταν πρώτο θέμα και στον προκριματικό του πολυτεχνείου για τον IMC 2009), υπήρχε ένα σοβαρό τυπογραφικό λάθος που χαλούσε όλο το πρόβλημα, το διόρθωσα και τώρα όποιος θέλει μπορεί να το προσπαθίσει.

Eukleidis · #11

Tα θέματα σε pdf

Προβλήματα για το διαγωνισμό επιλογής της ΕΜΕ.pdf: (66.65 KiB) Μεταφορτώθηκε 341 φορές

Ilias_Zad · #12

Kαλά αποτελέσματα και απο εμένα.
Να πω και για το τρίτο θέμα ότι στο πρώτο ερώτημα μας αρκεί μια c-s και περίπτωση ισότητας, και για να λύσουμε το δεύτερο μπορούμε να πάρουμε την ακολουθία συναρτήσεων που κατεβαίνει γραμμικά απο το (0,1)

στο $(\frac{1}{n},0)$ και συνεχίζει ως μηδενική.Το ότι δεν είναι min είναι αμεσο καθώς μια τέτοια συνάρτηση θα έπρεπε να είναι συνεχής,μη σταθερή λόγω άκρων και με μηδενική παράγωγο κατα τμήματα.
Για το 2, κοιτάξτε το πρόσημο της $\frac{2f(x)}{x}-f'(x)$ κοντά στο μηδέν.

Nick1990 · #13

Ανακοίνωση των αποτελεσμάτων του διαγωνισμού πρωτοετών και δευτεροετών
φοιτητών για την επιλογή της Εθνικής Ομάδας για συμμετοχή στο διεθνή
φοιτητικό Μαθηματικό διαγωνισμό SEEMOUS 2011

Αθήνα, 31 Ιανουαρίου 2011

Ο διαγωνισμός πρωτοετών και δευτεροετών φοιτητών για την επιλογή της
Εθνικής Ομάδας για συμμετοχή στο διεθνή φοιτητικό Μαθηματικό διαγωνισμό
SEEMOUS 2011 πραγματοποιήθηκε ταυτόχρονα στην Αθήνα και στην Ξάνθη στις 29
Ιανουαρίου 2011, μεταξύ 11.00 και 14.00. Συμμετείχαν συνολικά 25 φοιτητές (15
στην Αθήνα και 10 στην Ξάνθη). Η Εθνική Ομάδα που προέκυψε από την
αξιολόγηση των γραπτών αποτελείται από τους:

1. Ζαδίκ Ηλία, δευτεροετή φοιτητή Τμήματος Μαθηματικών ΕΚΠΑ

2. Μοσχίδη Γεώργιο, δευτεροετή φοιτητή ΣΕΜΦΕ ΕΜΠ

3. Μπορμπίλα Γεώργιο, δευτεροετή φοιτητή Τμήματος Μαθηματικών ΕΚΠΑ

4. Ζέμα Κωνσταντίνο, πρωτοετή φοιτητή Τμήματος Μαθηματικών ΕΚΠΑ

5. Εσκενάζη Αλέξανδρο, πρωτοετή φοιτητή Τμήματος Μαθηματικών ΕΚΠΑ

6. Μαυρίκο Μανώλη, δευτεροετή φοιτητή Τμήματος Μαθηματικών ΕΚΠΑ.

Τους παραπάνω συγχαίρουμε για την επιτυχία τους και ευχόμαστε καλή συνέχεια
στο διαγωνισμό SEEMOUS.

-------------------------------------------------------------------------------------

Αυτό το μύνημα έλαβα απο την επιτροπή του διαγωνισμού.
Να συγχαρώ και εγώ με τη σειρά μου τους επιτυχόντες και ιδιαίτερα τον φίλο και μέλος του φόρουμ Ηλία Ζαδίκ, καθώς επίσης και τον φίλο και συνάδελφο (Σεμφίτη

) Γιώργο Μοσχίδη.

#14

Εύχομαι σε όλα τα παιδιά να διαπρέψουν στον διαγωνισμό και ιδιαίτερα στον δικό μας Ηλία, για τον οποίο είμαστε όλοι στο

, πιστεύω ακράδαντα πως ερμηνεύω το κοινό αίσθημα, ιδιαίτερα υπερήφανοι.

#15

Συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά και ιδιαίτερα στον Ηλία!

Καλή επιτυχία στο SEEMOUS!!

Φιλικά,

Αχιλλέας

nonlinear · #16

H Ελληνική Ομάδα για την ΙΜΟ 2009.
(απο αριστερά προς τα δεξιά)
Δημήτρης Παπαδημητρίου,Ηλίας Ζαδίκ,Κωσταντίνος Παππέλης,Ηλίας Γιεχασκιέλ,Βαγγέλης Ταρατόρης,Φώτης Λογοθέτης.

Edit Ο Ηλίας έδωσε την σωστή τοποθέτηση ονομάτων και αντιστοίχησης στην φωτογραφία.

Κώστας Παππέλης · #17

Συγχαρητήρια στους προκριθέντες!! Δυστυχώς φέτος δεν τα κατάφερα

κυρίως λόγω της πολύ μικρής μου ενασχόλησης πλέον με το αντικείμενο

Να διευκρινίσω ότι στη φωτογραφία από πάνω δεν είμαστε οι περσινοί της IMO (2010), είμαστε οι προπέρσινοι (2009).

#18

Καλή επιτυχία κι απο εμένα με ιδιαίτερη εκτίμηση στον Ηλία, για τον οποίο να πω πως είναι μακράν και καταπληκτικός λύτης
αλλά και ιδιαιτέρως κατανοητός!

Ilias_Zad · #19

Συγχαρητήρια πολλά και απο εμένα σε όλους τους προκριθέντες!
Επίσης θέλω να σας ευχαριστήσω όλους σας για τα καλά σας λόγια.

Προκριματικός διαγωνισμός Ολυμπιάδας Seemous 2011

Προκριματικός διαγωνισμός Ολυμπιάδας Seemous 2011

Re: Προκριματικός διαγωνισμός Ολυμπιάδας Seemous 2011

Re: Προκριματικός διαγωνισμός Ολυμπιάδας Seemous 2011

Re: Προκριματικός διαγωνισμός Ολυμπιάδας Seemous 2011

Re: Προκριματικός διαγωνισμός Ολυμπιάδας Seemous 2011

Re: Προκριματικός διαγωνισμός Ολυμπιάδας Seemous 2011

Re: Προκριματικός διαγωνισμός Ολυμπιάδας Seemous 2011

Re: Προκριματικός διαγωνισμός Ολυμπιάδας Seemous 2011

Re: Προκριματικός διαγωνισμός Ολυμπιάδας Seemous 2011

Re: Προκριματικός διαγωνισμός Ολυμπιάδας Seemous 2011

Re: Προκριματικός διαγωνισμός Ολυμπιάδας Seemous 2011

Re: Προκριματικός διαγωνισμός Ολυμπιάδας Seemous 2011

Re: Προκριματικός διαγωνισμός Ολυμπιάδας Seemous 2011

Re: Προκριματικός διαγωνισμός Ολυμπιάδας Seemous 2011

Re: Προκριματικός διαγωνισμός Ολυμπιάδας Seemous 2011

Re: Προκριματικός διαγωνισμός Ολυμπιάδας Seemous 2011

Re: Προκριματικός διαγωνισμός Ολυμπιάδας Seemous 2011

Re: Προκριματικός διαγωνισμός Ολυμπιάδας Seemous 2011

Re: Προκριματικός διαγωνισμός Ολυμπιάδας Seemous 2011

Μέλη σε σύνδεση