Γραμμικώς εξαρτημένες συναρτήσεις

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Γραμμικώς εξαρτημένες συναρτήσεις

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Μαρ 17, 2011 11:01 pm

Δίνονται παραγωγίσιμες συναρτήσεις f_1,\ldots,f_n:\mathbb{R} \to \mathbb{R} και θετικοί αριθμοί a_{ij} (1 \leqslant i,j \leqslant n) ώστε
(α) \displaystyle{\lim_{x \to \infty}f_i(x) \to 0} για κάθε 1 \leqslant i \leqslant n
(β) \displaystyle{f_i{'}(x) = \sum_{j=1}^n a_{ij}f_j(x)} για κάθε 1 \leqslant i \leqslant n και κάθε x \in \mathbb{R}.

Να εξεταστεί αν οι συναρτήσεις f_1,\ldots,f_n είναι γραμμικώς εξαρτημένες.


Άβαταρ μέλους
KapioPulsar
Δημοσιεύσεις: 177
Εγγραφή: Τρί Ιαν 05, 2010 12:59 pm
Τοποθεσία: Κρήτη

Re: Γραμμικώς εξαρτημένες συναρτήσεις

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KapioPulsar » Παρ Μαρ 18, 2011 12:09 am

μια ιδέα..

Έστω Μ ένας ΝxN πίνακας (a_{ij})
Το ίχνος ειναι θετικό , οπότε υπάρχει ιδιοτιμη λ με πραγματικό μέρος θετικό
Εστω v το αντίστιχο ιδιοδιάνισμα : y=\sum v_i f_i(x) με y'=\sum v_i a_{ij} f_j(x)=\lambda \sum v_j f_j(x) =\lambda y
Άρα y'=λy οπότε y=C e^{\lambda x} και αφού το πραγματικό μέρος του λ ειναι θετικό τοτε η |e^{\lambda x} | δεν πάει στο μηδέν όταν το x->∞ και λόγο της (α) => C=0 άρα υπάρχει ενας γραμμικός συνδιασμός των f_i ίσος με 0 άρα τα f_i δεν είναι γραμμικά ανεξάρτητα.
τελευταία επεξεργασία από KapioPulsar σε Παρ Μαρ 18, 2011 12:33 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


---------------------------------------------
( \forall ) \equiv ( \neg  \exists  \neg)
---------------------------------------------
Νίκος.
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Γραμμικώς εξαρτημένες συναρτήσεις

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Μαρ 18, 2011 12:28 am

Ωραία. (Μόνο που το τελικό συμπέρασμα είναι ότι τα f_i δεν είναι γραμμικά ανεξάρτητα.)

Ας δούμε και ένα επιπλέον ερώτημα: Να δειχθεί ότι με τις ίδιες συνθήκες, για κάθε 1 \leqslant i \leqslant n το f_i είναι γραμμικός συνδυασμός των f_1,\ldots,f_{i-1},f_{i+1},\ldots,f_n.


Άβαταρ μέλους
KapioPulsar
Δημοσιεύσεις: 177
Εγγραφή: Τρί Ιαν 05, 2010 12:59 pm
Τοποθεσία: Κρήτη

Re: Γραμμικώς εξαρτημένες συναρτήσεις

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KapioPulsar » Παρ Μαρ 18, 2011 12:36 am

Ναί σόρρυ...


---------------------------------------------
( \forall ) \equiv ( \neg  \exists  \neg)
---------------------------------------------
Νίκος.
Ilias_Zad
Δημοσιεύσεις: 418
Εγγραφή: Δευ Ιαν 26, 2009 11:44 pm

Re: Γραμμικώς εξαρτημένες συναρτήσεις

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ilias_Zad » Παρ Μαρ 18, 2011 3:08 pm

Demetres έγραψε:Ωραία. (Μόνο που το τελικό συμπέρασμα είναι ότι τα f_i δεν είναι γραμμικά ανεξάρτητα.)

Ας δούμε και ένα επιπλέον ερώτημα: Να δειχθεί ότι με τις ίδιες συνθήκες, για κάθε 1 \leqslant i \leqslant n το f_i είναι γραμμικός συνδυασμός των f_1,\ldots,f_{i-1},f_{i+1},\ldots,f_n.
Ίδια δουλειά με το ιδιοδιάνυσμα να επιλεχτεί με θετικές συντεταγμένες απο frobenious. (http://en.wikipedia.org/wiki/Perron%E2% ... us_theorem)


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: SemrushBot και 1 επισκέπτης