Αντιστρέψιμοι πίνακες με ακέραιες τιμές.

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Αντιστρέψιμοι πίνακες με ακέραιες τιμές.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Μαρ 18, 2011 5:06 pm

Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του θετικού ακεραίου n ώστε να ισχύει το ακόλουθο:

Αν A,B είναι 3 \times 3 πίνακες με ακέραιες τιμές ώστε όλοι οι πίνακες της μορφής A+kB με k \in \{0,1,\ldots,n\} να είναι αντιστρέψιμοι και οι αντίστροφοι να έχουν ακέραιες τιμές, τότε και ο πίνακας A+(n+1)B είναι αντιστρέψιμος με τον αντίστροφο να έχει ακέραιες τιμές.

Γενίκευση: Τι συμβαίνει αν έχουμε m \times m πίνακες. (Δεν γνωρίζω την απάντηση, ούτε και την δυσκολία.)
Εμπνευσμένη από Putnam 1994/A4


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1393
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Αντιστρέψιμοι πίνακες με ακέραιες τιμές.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Δευ Μαρ 21, 2011 2:49 pm

Προφανώς η ιδιότητα "ο A είναι αντιστρέψιμος με ... ακέραιες τιμές" εκφράζεται πιο απλά ως | \det A| = 1.

Εστω πίνακες A, B με |\det A| = |\det (A+B)| = |\det (A+2B)| = |\det (A+3B)| = |\det (A+4B)| = 1 και έστω \det A = 1 (ομοίως για \det A = -1). Συμβολίζω με M_{XYZ} τον πίνακα του οποίου η πρώτη στήλη είναι η πρώτη στήλη του X, η δεύτερη είναι η δεύτερη του Y και η τρίτη είναι η τρίτη του Z.

Θέτουμε x = \det (M_{AAB}) + \det (M_{ABA}) + \det (M_{BAA}),
\ y = \det (M_{ABB}) + \det (M_{BAB}) + \det (M_{BBA}), \ z = \det B.

Τότε, \det (A+B) - \det A = x + y + z \in \{0, -2 \}, \det (A+2B) - \det A = 2x + 4y + 8z \in \{0, -2 \}, \det (A+3B) - \det A = 3x + 9y + 27z = 0 και \det (A+4B) - \det A = 4x + 16y + 64z = 0 (οι δυο τελευταίοι δε μπορούν να έχουν απόλυτη τιμή 2 λόγω διαιρετότητας με το 3 και το 4 αντίστοιχα). Εύκολα διαπιστώνουμε ότι η μοναδική λύση του συστήματος είναι η x = y = z = 0 και έτσι | \det (A + kB) | = 1 για κάθε k \in \mathbb{Z}. Ετσι, για n = 4 ισχύει.

Επίσης, θέτοντας

A = \left(  
\begin{array}{c c c} 
-1 & 0 & 0 \\ 
0 & 1 & 0 \\ 
0 & 0 & -1 
\end{array} \right), B = \left( \begin{array}{c c c} 
1 & 0 & 1 \\ 
0 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & 1 
\end{array} \right) βλέπουμε ότι \det A = \det(A+3B) = 1, \det (A+B) = \det (A+2B) = -1, \det(A+4B) = 5. Ετσι, δεν ισχύει για n = 3.

Αρα το ελάχιστο n είναι 4.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης