Μερικές Ανισότητες
Συντονιστής: Demetres
Μερικές Ανισότητες
1. Έστω πραγματικοί αριθμοί ώστε: . Τότε, για κάθε ισχύει: .
2. Για κάθε και κάθε ισχύει: .
3. Για κάθε ισχύει: .
2. Για κάθε και κάθε ισχύει: .
3. Για κάθε ισχύει: .
-
- Δημοσιεύσεις: 838
- Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Μερικές Ανισότητες
Τις επαναφέρω.
Κάνω την πιο όμορφη, την
Θα θέσω . Εύκολα μπορεί να επαληθευτεί ότι η προς απόδειξη ανισότητα παίρνει την μορφή
Aπό εδώ και πέρα είναι απλή.
Θεωρούμε την
Aυτή έχει παράγωγο
και δεύτερη παράγωγο
Αν θέσουμε βλέπουμε εύκολα ότι είναι
με την ισότητα στο Άρα η είναι γνησίως φθίνουσα και επειδή
η έχει μέγιστο στο το H απόδειξη έχει ολοκληρωθεί.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Μερικές Ανισότητες
Να κάνω την δεύτερη.
Να σημειώσω οτι ο Peter είναι ο Πέτρος Βαλέττας μαθητής του Α.Γιαννόπουλου
που αυτή την στιγμή είναι Assistant Professor στο πανεπιστήμιο του Missouri.
Μας έχει αφήσει άφθονο υλικό.
Η ανισότητα δεν είναι δύσκολη.
Υποψιάζομαι ότι είναι από κάποιο paper.
Θέτουμε
και πρέπει να αποδείξουμε
Για λόγους δακτυλογράφησης βάζω όπου το και όπου το
Δηλαδή πρέπει να δείξουμε ότι
Κρατάμε το σταθερό και θεωρούμε την
Αμεσα βλέπουμε ότι
Αρα είναι κοίλη οπότε
Αλλά και
Αρκεί να δείξουμε ότι
(ενδιαφέρουσα ανισότητα που η απόδειξη της δεν χρειάζεται παραγώγους)
Ξεχωρίζουμε τρεις περιπτώσεις
1)
Τετριμμένα ισχύει
2)
Τότε είναι
Οπότε
3)
Πρέπει να δείξουμε ότι
Αλλά σε αυτό το διάστημα είναι
(Για τις εκτιμήσεις των τιμών δεν χρειάζεται κομπιουτεράκι.Το είναι αρκετά μεγαλύτερο )
Η απόδειξη είναι πλήρης.
Να σημειώσω οτι ο Peter είναι ο Πέτρος Βαλέττας μαθητής του Α.Γιαννόπουλου
που αυτή την στιγμή είναι Assistant Professor στο πανεπιστήμιο του Missouri.
Μας έχει αφήσει άφθονο υλικό.
Η ανισότητα δεν είναι δύσκολη.
Υποψιάζομαι ότι είναι από κάποιο paper.
Θέτουμε
και πρέπει να αποδείξουμε
Για λόγους δακτυλογράφησης βάζω όπου το και όπου το
Δηλαδή πρέπει να δείξουμε ότι
Κρατάμε το σταθερό και θεωρούμε την
Αμεσα βλέπουμε ότι
Αρα είναι κοίλη οπότε
Αλλά και
Αρκεί να δείξουμε ότι
(ενδιαφέρουσα ανισότητα που η απόδειξη της δεν χρειάζεται παραγώγους)
Ξεχωρίζουμε τρεις περιπτώσεις
1)
Τετριμμένα ισχύει
2)
Τότε είναι
Οπότε
3)
Πρέπει να δείξουμε ότι
Αλλά σε αυτό το διάστημα είναι
(Για τις εκτιμήσεις των τιμών δεν χρειάζεται κομπιουτεράκι.Το είναι αρκετά μεγαλύτερο )
Η απόδειξη είναι πλήρης.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Μερικές Ανισότητες
Για τετριμμένα ισχύει.
Θέτουμε
Είναι
και η ανισότητα γίνεται
1)περίπτωση
είναι
2)περίπτωση
Είναι
3)περίπτωση
3α)Αν
τότε
3β)Αν
τότε χρησιμοποιώντας την
Εχουμε
Αν θέσουμε
είναι
και οδηγούμαστε στο να αποδείξουμε την ανισότητα του
viewtopic.php?f=184&t=65897
με αντί
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες