IMC 2011
Συντονιστής: Demetres
IMC 2011
Ανοίγω το θέμα αυτό καθώς αύριο η ομάδα μας (ομάδα ΕΜΠ) μαζί με την ομάδα του Μαθηματικού τμήματος του ΕΚΠΑ, αναχωρούμε για το Μπλαγκόεβγκραντ της Βουλγαρίας όπου θα πραγματοποιηθεί ο διαγωνισμός IMC 2011.
Εδώ θα βάλουμε τα θέματα των 2 ημερών του διαγωνισμού, θα προτείνουμε λύσεις, και θα συζητήσουμε οτιδήποτε άλλο σχετικό με το διαγωνισμό.
Εδώ θα βάλουμε τα θέματα των 2 ημερών του διαγωνισμού, θα προτείνουμε λύσεις, και θα συζητήσουμε οτιδήποτε άλλο σχετικό με το διαγωνισμό.
Κολλιοπουλος Νικος.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5589
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: IMC 2011
Καλή επιτυχία !!!!
Σ.Ε.Λουρίδας
Σ.Ε.Λουρίδας
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5496
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
Re: IMC 2011
Καλό ταξίδι και καλή επιτυχία !!!
Να χαρείτε τη συμμετοχή σας , χωρίς άγχος , και όλα τα άλλα θα έρθουν μόνα τους.
Μπάμπης
Να χαρείτε τη συμμετοχή σας , χωρίς άγχος , και όλα τα άλλα θα έρθουν μόνα τους.
Μπάμπης
- Κοτρώνης Αναστάσιος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3203
- Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
- Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
- Επικοινωνία:
-
- Δημοσιεύσεις: 1055
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 11, 2010 2:12 pm
Re: IMC 2011
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΡΑΣ ΠΡΩΤΗΣ
Πρόβλημα 1
Έστω συνεχής συνάρτηση
. Ένα σημείο
λέγεται σκιώδες αν υπάρχει σημείο
ώστε
. Έστω οι πραγματικοί
για τους οποίους
α)
για κάθε
.
β)
.
Πρόβλημα 2
Υπάρχει πραγματικός πίνακας
,
ώστε
και
;
Πρόβλημα 3
Έστω
ένας πρώτος αριθμός.Καλούμε ενδιαφέροντα έναν θετικό ακέραιο
αν
για κάποια πολυώνυμα
με ακέραιους συντελεστές.
α) Αποδείξτε ότι ο αριθμός
είναι ενδιαφέροντας.
β) Για ποιους
ο αριθμός
είναι ο μικρότερος ενδιαφέρων αριθμός.
Πρόβλημα 4
Έστω τα
, τα οποία είναι πεπερασμένα, μη κενά σύνολα. Ορίστε τη συνάρτηση
.
Αποδείξτε ότι η
είναι μη φθίνουσα στο
.
(Το
συμβολίζει τον αριθμό των στοιχείων του Α)
Πρόβλημα 5
Έστω
ένας θετικός ακέραιος και έστω
ένας
-διάστατος διανυσματικός χώρος υπέρ του σώματος των δύο στοιχείων. Να αποδειχθεί ότι για τυχόντα διανύσματα
υπάρχει ακολουθία
δεικτών έτσι ώστε 
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΡΑΣ ΔΕΥΤΕΡΗΣ
Πρόβλημα 1
Έστω
. Ορίστε την ακολουθία
,
. Συγκλίνει; Αν ναι, βρείτε το όριο της.
Πρόβλημα 2
Μια εξωγήινη φυλή έχει τρία φύλα: αρσενικό,θυληκό και ουδέτερο. Μια παντρεμένη τριάδα αποτελείται από τρία άτομα, ένα από κάθε φύλο, από τα οποία ο καθένας αρέσει στον άλλον. Κάθε άτομο επιτρέπεται να ανήκει στο πολύ μια παντρεμένη τριάδα. Τα αισθήματα είναι πάντα αμοιβαία. (Αν ο
αρέσει τον
, τότε ο
αρέσει τον
)
H φυλή θέλει να αποικήσει έναν πλανήτη, οποτε στέλνει
αρσενικά,
θυληκά και
ουδέτερα. Κάθε μέλος της αποστολής αρέσει τουλάχιστον
μέλη των υπολοίπων δύο φύλων. Το πρόβλημα είναι να δημιουργηθούν όσο το δυνατόν περισσότερες παντρεμένες τριάδες για να αποικήσουν τον πλανήτη.
α) Αποδείξτε ότι ότι αν ο
είναι άρτιος και
, τότε μπορεί να μην υπάρχει καμία παντρεμένη τριάδα.
β) Αποδείξτε ότι αν
, τότε μπορούν να δημιουργηθούν
παντρεμένες τριάδες.
Πρόβλημα 3
Υπολογίστε το
Διόρθωση: Υπολογίστε το
Πρόβλημα 4
Έστω
ένα πολυώνυμο με πραγματικούς συντελέστές βαθμού n. Έστω πως το κλάσμα
είναι ακέραιο για κάθε
. Αποδείξτε ότι
για κάθε διαφορετικά
.
Πρόβλημα 5
Έστω
κυρτό πολύγωνο στο επίπεδο. Ορίζουμε για κάθε
την πράξη
η οποία αντικαθιστά το
με ένα νέο πολύγωνο
όπου το
είναι το συμμετρικό του
ως προς την μεσοκάθετη της ευθείας
. Να αποδειχθεί ότι
.
Συγχωρέστε με για όποια λάθη στη μετάφραση ή τυπογραφικά.
Πηγή:http://mathproblems123.wordpress.com/
Πρόβλημα 1
Έστω συνεχής συνάρτηση





- όλα τα σημεία του ανοικτού διαστήματος
είναι σκιώδη σημεία.
- τα
και
δεν είναι σκιώδη σημεία.
α)


β)

Πρόβλημα 2
Υπάρχει πραγματικός πίνακας




Πρόβλημα 3
Έστω




α) Αποδείξτε ότι ο αριθμός

β) Για ποιους


Πρόβλημα 4
Έστω τα


Αποδείξτε ότι η

![\displaystyle{\left[ {0,1} \right]} \displaystyle{\left[ {0,1} \right]}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/6de2ef6ac9ac42d7b1445d8ea49a5c66.png)
(Το

Πρόβλημα 5
Έστω






ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΡΑΣ ΔΕΥΤΕΡΗΣ
Πρόβλημα 1
Έστω



Πρόβλημα 2
Μια εξωγήινη φυλή έχει τρία φύλα: αρσενικό,θυληκό και ουδέτερο. Μια παντρεμένη τριάδα αποτελείται από τρία άτομα, ένα από κάθε φύλο, από τα οποία ο καθένας αρέσει στον άλλον. Κάθε άτομο επιτρέπεται να ανήκει στο πολύ μια παντρεμένη τριάδα. Τα αισθήματα είναι πάντα αμοιβαία. (Αν ο




H φυλή θέλει να αποικήσει έναν πλανήτη, οποτε στέλνει




α) Αποδείξτε ότι ότι αν ο


β) Αποδείξτε ότι αν


Πρόβλημα 3
Υπολογίστε το

Διόρθωση: Υπολογίστε το

Πρόβλημα 4
Έστω





Πρόβλημα 5
Έστω









Συγχωρέστε με για όποια λάθη στη μετάφραση ή τυπογραφικά.
Πηγή:http://mathproblems123.wordpress.com/
τελευταία επεξεργασία από Eukleidis σε Κυρ Ιούλ 31, 2011 2:59 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
Γιώργος
- Κοτρώνης Αναστάσιος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3203
- Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
- Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
- Επικοινωνία:
Re: IMC 2011
Κάτι δε μου παει καλά με το πρόβλημα 3 της δεύτερης μέρας. Κατ' αρχάς νομίζω ότι είναι κακός ο συμβολισμός.
Αν το γινόμενο ήταν όλο μες το λογάριθμο νομίζω θα ήταν καλύτερο να γραφτεί ως
.
Αν πάλι είναι μόνο η πρώτη παρένθεση μέσα στο λογάριθμο, νομίζω θα ήταν καλύτερο να γραφεί ως
.
Όπως και νάχει, στην πρώτη περίπτωση έχουμε
, άρα 
ενώ στη δεύτερη
, οπότε πάλι έχουμε
.
Αν το γινόμενο ήταν όλο μες το λογάριθμο νομίζω θα ήταν καλύτερο να γραφτεί ως

Αν πάλι είναι μόνο η πρώτη παρένθεση μέσα στο λογάριθμο, νομίζω θα ήταν καλύτερο να γραφεί ως

Όπως και νάχει, στην πρώτη περίπτωση έχουμε


ενώ στη δεύτερη


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
- Κοτρώνης Αναστάσιος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3203
- Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
- Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
- Επικοινωνία:
Re: IMC 2011
Το πρόβλημα 1 της πρώτης μέρας αν θυμάμαι καλά είναι γνωστό ως Λήμμα το Ανατέλλοντος Ηλίου και υπάρχει στο βιβλίο του Απειροστικού του Spivak και του Νεγρεπόντη.
Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8587
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: IMC 2011
Αναστάση, στην πηγή που το βρήκε ο Γιώργος έτσι ακριβώς το γράφει. Και εμένα μου φαίνεται περίεργο. Ιδίως διότι όπως και να ερμηνευθεί αποκλίνει αφού και το
αποκλίνει.

- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8587
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: IMC 2011
Το 1 μου φάνηκε τελείως προφανές. Δεν χρειαζόταν καν η συνέχεια. Υπάρχει όμως λάθος στην μετάφραση. Εκεί που λέει «υπάρχειΚοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Το πρόβλημα 1 της πρώτης μέρας αν θυμάμαι καλά είναι γνωστό ως Λήμμα το Ανατέλλοντος Ηλίου και υπάρχει στο βιβλίο του Απειροστικού του Spivak και του Νεγρεπόντη.


- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8587
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: IMC 2011
Ας υποθέσουμε πως υπάρχει. Θα συμβολίζω τοEukleidis έγραψε: Πρόβλημα 2 (1ης μέρας)
Υπάρχει πραγματικός πίνακας,
ώστε
και
;






















- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8587
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: IMC 2011
Αυτή η άσκηση έχει σύντομη απόδειξη αν την δούμε από την σωστή μεριά.Eukleidis έγραψε:
Πρόβλημα 4
Έστω τα, τα οποία είναι πεπερασμένα, μη κενά σύνολα. Ορίστε τη συνάρτηση
.
Αποδείξτε ότι ηείναι μη φθίνουσα στο
.
(Τοσυμβολίζει τον αριθμό των στοιχείων του Α)
Για κάθε






![[0,1] [0,1]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/ccfcd347d0bf65dc77afe01a3306a96b.png)
Για
![I \subseteq [n] I \subseteq [n]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/f0393d9f1cb4074fc27e241535673072.png)


![[n] = \{1,\ldots,n\} [n] = \{1,\ldots,n\}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/68b16bafaf2192792557dad9253696b4.png)

![\displaystyle{ \Pr(E) = \sum_{I \subseteq [n]} (-1)^{|I|-1}\Pr(E_i) = f(t)} \displaystyle{ \Pr(E) = \sum_{I \subseteq [n]} (-1)^{|I|-1}\Pr(E_i) = f(t)}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/529321a446830f773367bb6849f21c3e.png)
και άρα το

![[0,1] [0,1]](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/ccfcd347d0bf65dc77afe01a3306a96b.png)
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13147
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8587
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: IMC 2011
Αυτό το πρόβλημα είναι ίσως λίγο άδικο μιας και είναι άμεση εφαρμογή του θεωρήματος του γάμου. Ας ελπίσουμε οι δικοί μας να το γνώριζαν. Νομίζω πως χωρίς γνώση αυτού του θεωρήματος η απόδειξη είναι αρκετά δύσκολη.Eukleidis έγραψε: Πρόβλημα 2
Μια εξωγήινη φυλή έχει τρία φύλα: αρσενικό,θυληκό και ουδέτερο. Μια παντρεμένη τριάδα αποτελείται από τρία άτομα, ένα από κάθε φύλο, από τα οποία ο καθένας αρέσει στον άλλον. Κάθε άτομο επιτρέπεται να ανήκει στο πολύ μια παντρεμένη τριάδα. Τα αισθήματα είναι πάντα αμοιβαία. (Αν οαρέσει τον
, τότε ο
αρέσει τον
)
H φυλή θέλει να αποικήσει έναν πλανήτη, οποτε στέλνειαρσενικά,
θυληκά και
ουδέτερα. Κάθε μέλος της αποστολής αρέσει τουλάχιστον
μέλη των υπολοίπων δύο φύλων. Το πρόβλημα είναι να δημιουργηθούν όσο το δυνατόν περισσότερες παντρεμένες τριάδες για να αποικήσουν τον πλανήτη.
α) Αποδείξτε ότι ότι αν οείναι άρτιος και
, τότε μπορεί να μην υπάρχει καμία παντρεμένη τριάδα.
β) Αποδείξτε ότι αν, τότε μπορούν να δημιουργηθούν
παντρεμένες τριάδες.
Re: IMC 2011
Τα (όχι τελικά -preliminary) αποτελέσματα βρίσκονται εδώ. Από ότι φαίνεται για το συγκεκριμένο πρόβλημα παρόλο που το ήξεραν τα παιδιά δεν έλυσαν το συγκεκριμένο πρόβλημα.
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 9&t=421313
Παραθέτω τώρα τη λύση στο πρόβλημα 4 της δεύτερης μέρας.
Η λύση βασίζεται σε ένα λήμμα που το κάνουμε κατά κόρον στην προετοιμασία για την ΙΜΟ.
Αν ένα πολυώνυμο βαθμού
με πραγματικούς συντελεστές έχει
ακέραιες τιμές σε ακέραια σημεία, τότε το πολυώνυμο έχει ακεραίους συντελεστές.
Η απόδειξη είναι άμεση από το Lagrange Interpolation Formula.
Στη λύση της άσκησης τώρα.
Θεωρούμε το πολυώνυμο
. Τότε
και 
έχουμε από την συνθήκη (για
, και
) ότι
είναι ακέραιος.
Επομένως το λήμμα εφαρμόζεται στο πολυώνυμο
, άρα το
έχει ακεραίους συντελεστές.
Τότε όμως είναι γνωστό ότι για οποιουσδήποτε ακεραίους
έχουμε
που είναι και το ζητούμενο.
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 9&t=421313
Παραθέτω τώρα τη λύση στο πρόβλημα 4 της δεύτερης μέρας.
Η λύση βασίζεται σε ένα λήμμα που το κάνουμε κατά κόρον στην προετοιμασία για την ΙΜΟ.
Αν ένα πολυώνυμο βαθμού


Η απόδειξη είναι άμεση από το Lagrange Interpolation Formula.
Στη λύση της άσκησης τώρα.
Θεωρούμε το πολυώνυμο



έχουμε από την συνθήκη (για



Επομένως το λήμμα εφαρμόζεται στο πολυώνυμο


Τότε όμως είναι γνωστό ότι για οποιουσδήποτε ακεραίους


τελευταία επεξεργασία από grigkost σε Δευ Αύγ 01, 2011 3:21 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: δημιουργία συνδέσμου
Λόγος: δημιουργία συνδέσμου
Σιλουανός Μπραζιτίκος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης