SEEMOUS 2007/1

Συντονιστής: Demetres

s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

SEEMOUS 2007/1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Δευ Δεκ 05, 2011 2:23 pm

Έστω a ένας αριθμός του διαστήματος (0,1) και 0,a_1a_2...a_n... η απειροψήφια δεκαδική του αναπαράσταση.

α) Να δειχθεί ότι για κάθε x \in (0,1) το \displaystyle{\lim_{n \to \infty}(a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n)} υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός.

β) Αν \displaystyle{f_a(x)=\displaystyle\lim_{n \to \infty}(a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n), x \in (0,1)}.

Να δειχθεί ότι f_a ρητή, αν και μόνον αν a \in \mathbb{Q}


Σπύρος Καπελλίδης
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 13013
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Απειροψήφια δεκαδική αναπαράσταση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Δεκ 05, 2011 4:55 pm

Ξέρω την λύση αλλά δεν την γράφω για να την χαρούν οι υπόλοιποι.

Η άσκηση αυτή ήταν θέμα στον διεθνή Μαθηματικό διαγωνισμό για φοιτητές SEEMOUS 2007. Ήμουν τότε (μονομελής!) επιτροπή
για το shortlist του διαγωνισμού, οπότε τα θέματα αυτά τα είχα δουλέψει πολύ...
Αν θυμάμαι καλά είχα δώσει απλούστερη λύση από την προταθείσα του κατασκευαστή της, αλλά άντε βρες την. Είναι ωραία άσκηση και όχι πολλή δύσκολη (εννοείται, ούτε εύκολη...)

Σπύρο, η δική σου πηγή ποιά είναι;

Φιλικά

Μιχάλης


s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Απειροψήφια δεκαδική αναπαράσταση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Δευ Δεκ 05, 2011 8:08 pm

Τη βρήκα στο Gazeta Matematica 7-8-9/2009, που δημοσιεύει άλυτα τα θέματα του διαγωνισμού Alexandru Papiu-Ilarian του 2008.

Είναι ένα από τα θέματα αυτού του διαγωνισμού για την τάξη XII. Ωραίο πρόβλημα Μιχάλη


Σπύρος Καπελλίδης
fdns
Δημοσιεύσεις: 49
Εγγραφή: Παρ Ιούλ 13, 2012 3:46 pm

Re: SEEMOUS 2007/1

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από fdns » Σάβ Ιουν 15, 2013 10:55 am

Πολύ όμορφη άσκηση.
Ας κάνω μία προσπάθεια:

α) Αρχικά παρατηρούμε ότι επειδή η 0,a_{1}a_{2}a_{3}... είναι η απειροψήφια δεκαδική αναπαράσταση του a, τότε a_{1},a_{2},a_{3}...\in\{1,2,...,9\}, οπότε a_{1},a_{2},a_{3}...\leq 9.

Θεωρούμε την ακολουθία \{s_{n}(x)\}, n\geq 1, με \displaystyle s_{n}(x) = \sum_{i=1}^{n}a_{i}x^i.

Προφανώς η \{s_{n}(x)\} είναι γν. αύξουσα. Επίσης για σταθερό x ισχύει:

\displaystyle s_{n}(x)= \sum_{i=1}^{n}a_{i}x^i \leq \sum_{i=1}^{n}9x^i = 9x\dfrac{1-x^n}{1-x}

Όμως επειδή x\in(0,1), έχουμε ότι:

\displaystyle\lim_{n\to\infty}9x\dfrac{1-x^n}{1-x}=\dfrac{9x}{1-x}

Συνεπώς, η \{s_{n}(x)\} ως γν. αύξουσα και άνω φραγμένη από το \displaystyle\dfrac{9x}{1-x}, συγκλίνει σε κάποιον πραγματικό αριθμό.

β) Θεωρούμε ότι η f_{a} είναι ρητή.

Γνωρίζουμε ότι \displaystyle a=\lim_{n\to\infty}0,a_{1}a_{2}a_{3}...=\lim_{n\to\infty}(a_{1}10^{-1}+a_{2}10^{-2}+...+a_{n}10^{-n})

Άρα \displaystyle f_{a}(\dfrac{1}{10})=a και επειδή η f_{a} είναι ρητή, έπεται ότι: \displaystyle f_{a}(\dfrac{1}{10})\in\mathbb{Q}, οπότε \displaystyle a\in\mathbb{Q}.


Θεωρούμε ότι a\in\mathbb{Q}.

Κάθε ρητός μπορεί να γραφεί ως περιοδικός αριθμός.
Στην περίπτωση που αυτός ακολουθείται απο άπειρα μηδενικά, μπορούμε να γράψουμε π.χ.0,25=0,249999...

Έστω ότι η περίοδος του a είναι η \displaystyle\bar{a_{i+1}a_{i+2}...a_{i+k}}, i,k\in\mathbb{N}.

Τότε \displaystyle a_{i+1}=a_{i+1+kl} ... a_{i+k}=a_{i+(k+1)l}, για κάθε l\in\mathbb{N}.

Θεωρώντας: \displaystyle P(x)=\left(a_{i+1}x^{i+1}+...+a_{i+k}x^{i+k}\right) και Q(x)=\left(a_{1}x+...+a_{i}x^i\right), έχουμε:

\displaystyle f_{a}(x)=a_{1}x+a_{2}x^2+...=\left(a_{1}x+...+a_{i}x^i\right)+\left(a_{i+1}x^{i+1}+...+a_{i+k}x^{i+k}\right)+\left(a_{i+k+1}x^{i+k+1}+...+a_{i+2k}x^{i+2k}\right)+...=Q(x)+P(x)x^{i+1}+P(x)x^{i+k+1}+...=Q(x)+P(x)x^{i+1}\left(1+x^k+x^2k+...\right)=Q(x)+P(x)x^{i+1}\lim_{n\to\infty}\dfrac{1-(x^k)^n}{1-x^k}=Q(x)+P(x)x^{i+1}\dfrac{1}{1-x^k}

Οπότε η f_{a} είναι ρητή


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης