SEEMOUS 2008/1

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8571
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

SEEMOUS 2008/1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Ιαν 25, 2012 1:36 pm

Έστω συνεχής συνάρτηση f:[1,\infty) \to (0,\infty) και έστω ότι για κάθε a > 0, η εξίσωση f(x) = ax έχει τουλάχιστον μια λύση στο διάστημα [1,\infty).
(α) Να δειχθεί ότι για κάθε a > 0, η εξίσωση f(x) = ax έχει άπειρες λύσεις.
(β) Να δοθεί παράδειγμα αυστηρώς αύξουσας συνεχούς συνάρτησης με αυτήν την ιδιότητα.


Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 659
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Peking University, Πεκίνο

Re: SEEMOUS 2008/1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Τετ Φεβ 01, 2012 2:00 am

Δημήτρη η εκφώνηση λέει ότι το σύνολο τιμών είναι το (0, +\infty), διαφορετικά το ζητούμενο δεν ισχύει (πχ f(x) = x(x-1)).

Η λύση πάει ως εξής:

α) Έστω πως όχι, τότε υπάρχει a,b > 0 με \frac{f(x)}{x} > a \forall x > b η \frac{f(x)}{x} < a \forall x > b.
Έστω m = \min\left\{\frac{f(x)}{x}, x \in [1, b]\right\}, M =  \max\left\{\frac{f(x)}{x}, x \in [1, b]\right\} που υπάρχουν διότι η \frac{f(x)}{x} είναι συνεχής στο διάστημα αυτό.
Στη πρώτη περίπτωση η \frac{f(x)}{x} είναι αυστηρά μεγαλύτερη από \frac{1}{2}\min\{a,m\} ενώ στη δεύτερη αυστηρά μικρότερη από 2\max\{a,M\} σε όλο το [1, +\infty) που και στις 2 περιπτώσεις είναι άτοπο.
Αν θυμάμαι καλά αυτή είναι και η επίσημη λύση.


β) Εδώ κάνω μια κατασκευή διαφορετική από την επίσημη:

Κατασκευάζουμε επαγωγικά μια θετική ακολουθία b_n τέτοια ώστε:

1) b_0 = 1, b_1 = 2

2) b_{2m+2} < \min\left\{\frac{1}{mb_{2m+1}}, \frac{b_{2m}}{2}\right\} \forall m \in \mathbb{N}

3) b_{2m+1} > \max\left\{\frac{m}{b_{2m}}, 2b_{2m-1}\right\} \forall m \in \mathbb{N}/\{0\}

Ορίζουμε τότε μια ακολουθία a_n ως:

a_0 = 1

a_{2m+1} = \frac{b_{2m+1}}{b_{2m}} \forall m \in \mathbb{N}

a_{2m+2} = \frac{b_{2m+1}}{b_{2m+2}} \forall m \in \mathbb{N}

Είναι απλό θέμα πράξεων να δει κανείς ότι τα διαστήματα I_n = [a_n, a_{n+1}], n \in \mathbb{N} αποτελούν αριθμήσιμη διαμέριση του [1, +\infty) και ότι η g που ορίζεται στο διάστημα αυτό ως:

g(x) = b_{2m}\sqrt{x}, x \in I_{2m},  \forall m \in \mathbb{N}
g(x) = \frac{b_{2m+1}}{\sqrt{x}}, x \in I_{2m+1}, \forall m \in \mathbb{N}

είναι συνεχής, και έχει σύνολο τιμών το (0, +\infty)
Είναι εύκολο τώρα να επαληθεύσουμε ότι η f(x) = xg(x), \forall x \in [1, +\infty) ικανοποιεί τις υποθέσεις που θέλουμε.
τελευταία επεξεργασία από Nick1990 σε Τετ Φεβ 01, 2012 1:27 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Κολλιοπουλος Νικος.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8571
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: SEEMOUS 2008/1

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Φεβ 01, 2012 12:53 pm

Ναι Νίκο έχεις δίκιο. Το διόρθωσα.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8571
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: SEEMOUS 2008/1

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Φεβ 01, 2012 1:30 pm

Βάζω μια διαφορετική απόδειξη για το (β). Παρουσιάζει ομοιότητες με του Νίκου αλλά διαφέρει λίγο στην εκτέλεση.

Θα βρω μια αύξουσα ακολουθία (x_n) ώστε για κάθε θετικό ακέραιο n να ισχύει ότι x_{2n} > 2n(2n-1)x_{2n-1}. Π.χ. η ακολουθία x_n = (n!)^2 δουλεύει. (Το μόνο βέβαια που μας ενδιαφέρει είναι η ύπαρξη της ακολουθίας.) Για κάθε φυσικό αριθμό n ορίζω f(x_{2n+1}) = (2n+1)x_{2n+1} και f(x_{2n}) = x_{2n}/2n και παρατηρώ ότι η ακολουθία f(x_n) είναι αυστηρώς αύξουσα. Επομένως μπορώ να την επεκτείνω γραμμικά σε όλο το [1,\infty) σε μια αυστηρώς αύξουσα συνεχή συνάρτηση.

Για κάθε a \in (0,\infty] βρίσκω θετικό ακεραίου m ώστε \displaystyle{ \frac{1}{2m} < a < 2m+1.} Τότε \displaystyle{ \frac{f(x_{2m})}{x_2m} = \frac{1}{2m} < a < 2m+1 = \frac{f(x_{2m+1})}{2m+1}. } Επειδή η συνάρτηση f(x)/x είναι συνεχής θα υπάρχει και x \in [x_{2m},x_{2m+1}] ώστε f(x)/x =a που είναι το ζητούμενο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης