SEEMOUS 2008/2

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8571
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

SEEMOUS 2008/2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Ιαν 25, 2012 1:39 pm

Έστω P_0,P_1,P_2,\ldots μια ακολουθία κυρτών πολυγώνων έτσι ώστε για κάθε k \geqslant 0, οι κορυφές του P_{k+1} να είναι τα μέσα των πλευρών του P_k. Να δειχθεί ότι υπάρχει μοναδικό σημείο το οποίο βρίσκεται μέσα σε όλα αυτά τα πολύγωνα.

Υ.Γ. Θυμάμαι να την ξανασυζητήσαμε αλλά δεν την βρήκα.


Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 659
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Peking University, Πεκίνο

Re: SEEMOUS 2008/2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Τρί Ιαν 31, 2012 11:16 pm

Λανθασμένη προσέγγιση λόγο λάθους στις πράξεις...
τελευταία επεξεργασία από Nick1990 σε Τετ Φεβ 01, 2012 3:49 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Κολλιοπουλος Νικος.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8571
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: SEEMOUS 2008/2

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Φεβ 01, 2012 3:03 pm

Νίκο, αν δεν κάνω λάθος χρησιμοποιείς ότι \displaystyle{ \sum_{i=1}^n \langle \overrightarrow{r_{k,i}}, \overrightarrow{r_{k,i+1(modn)}} \rangle = 0}. Ίσως να είναι απλό αλλά δεν βλέπω από που προκύπτει. Έχω μάλιστα την εντύπωση πως αυτό δεν ισχύει. Μπορεί όμως κάτι να μην κατάλαβα καλά.

Μια τροποποίηση που βρήκα και νομίζω δουλεύει. Για πολύγωνο P με κορυφές A_1,\ldots,A_n και βαρύκεντρο O γράφουμε S(P) = \sum_{k=1}^n (OA_k)^2 και T(P) = \sum_{k=1}^n (A_kA_{k+1})^2 όπου A_{n+1}:=A_1.

Ας θυμηθούμε ότι σε τρίγωνο ABC με διάμεσο AM ισχύει ότι \displaystyle{(AM)^2 = \frac{(AB)^2 + (BC)^2}{2} - \frac{(BC)^2}{4}.} (Αποδεικνύεται εύκολα με νόμο συνημιτόνων στα AMB και AMC.) Αν λοιπόν A_1,\ldots,A_n οι κορυφές του P_k και M_1,\ldots,M_n τα μέσα των A_1A_2,\ldots,A_nA_1 αντίστοιχα τότε εφαρμόζοντας το πιο πάνω στα τρίγωνα OA_1A_2,\ldots,OA_nA_1 παίρνουμε \displaystyle{ S(P_{k+1}) = S(P_k) - \frac{T(P_k)}{4}. }

Επομένως η ακολουθία S(P_k) είναι φθίνουσα και αφού είναι μη αρνητική τείνει σε κάποιο όριο \ell. Αν \ell \neq 0 Τότε πρέπει απαραίτητα T(P_k) \to 0. Άρα είτε S(P_k) \to 0 είτε T(P_k) \to 0. Και στις δύο περιπτώσεις με ανάλογα επιχειρήματα όπως του Νίκου βρίσκουμε ότι δεν μπορούν να υπάρχουν δυο διαφορετικά σημεία μέσα σε όλα τα πολύγωνα.


Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 659
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Peking University, Πεκίνο

Re: SEEMOUS 2008/2

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Τετ Φεβ 01, 2012 3:48 pm

Demetres έγραψε:Νίκο, αν δεν κάνω λάθος χρησιμοποιείς ότι \displaystyle{ \sum_{i=1}^n \langle \overrightarrow{r_{k,i}}, \overrightarrow{r_{k,i+1(modn)}} \rangle = 0}. Ίσως να είναι απλό αλλά δεν βλέπω από που προκύπτει. Έχω μάλιστα την εντύπωση πως αυτό δεν ισχύει. Μπορεί όμως κάτι να μην κατάλαβα καλά.

Μια τροποποίηση που βρήκα και νομίζω δουλεύει. Για πολύγωνο P με κορυφές A_1,\ldots,A_n και βαρύκεντρο O γράφουμε S(P) = \sum_{k=1}^n (OA_k)^2 και T(P) = \sum_{k=1}^n (A_kA_{k+1})^2 όπου A_{n+1}:=A_1.

Ας θυμηθούμε ότι σε τρίγωνο ABC με διάμεσο AM ισχύει ότι \displaystyle{(AM)^2 = \frac{(AB)^2 + (BC)^2}{2} - \frac{(BC)^2}{4}.} (Αποδεικνύεται εύκολα με νόμο συνημιτόνων στα AMB και AMC.) Αν λοιπόν A_1,\ldots,A_n οι κορυφές του P_k και M_1,\ldots,M_n τα μέσα των A_1A_2,\ldots,A_nA_1 αντίστοιχα τότε εφαρμόζοντας το πιο πάνω στα τρίγωνα OA_1A_2,\ldots,OA_nA_1 παίρνουμε \displaystyle{ S(P_{k+1}) = S(P_k) - \frac{T(P_k)}{4}. }

Επομένως η ακολουθία S(P_k) είναι φθίνουσα και αφού είναι μη αρνητική τείνει σε κάποιο όριο \ell. Αν \ell \neq 0 Τότε πρέπει απαραίτητα T(P_k) \to 0. Άρα είτε S(P_k) \to 0 είτε T(P_k) \to 0. Και στις δύο περιπτώσεις με ανάλογα επιχειρήματα όπως του Νίκου βρίσκουμε ότι δεν μπορούν να υπάρχουν δυο διαφορετικά σημεία μέσα σε όλα τα πολύγωνα.

Όντως δεν ισχύει για κανένα λόγο, απλά έγραφα κατ'ευθείαν στο forum και έκανα κάποιους υπολογισμούς στο μυαλό, μπερδεύοντας έτσι το παραπάνω με τη γραμμικότητα του εσωτερικού γινομένου. Το είχα υποψιαστεί καθώς η συνθήκη που μου έβγαινε ήταν πολύ ομαλή για τυχαίο κυρτό πολύγωνο, ας κρατήσουμε λοιπόν αυτή την τροποποίηση.


Κολλιοπουλος Νικος.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης