SEEMOUS 2008/3

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8444
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

SEEMOUS 2008/3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Ιαν 25, 2012 1:44 pm

Έστω \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) το σύνολο των πραγματικών n \times n πινάκων. Να βρεθούν όλες οι επί συναρτήσεις f:\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \to \{0,1,\ldots,n\} οι οποίες ικανοποιούν f(XY) \leqslant \min\{f(X),f(Y)\} για κάθε X,Y \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}).

Υ.Γ. Και αυτήν μάλλον την ξανασυζητήσαμε.


Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 658
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Peking University, Πεκίνο

Re: SEEMOUS 2008/3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Τετ Φεβ 01, 2012 5:39 pm

Για να εξιλεωθώ από την ανοησία που έγραψα στο 2, βάζω λύση εδώ:

Θα δείξουμε ότι η f παίρνει την ίδια τιμή σε κάθε 2 ισοδύναμους πίνακες. Πράγματι, αν Y \sim X, τότε Y = AXB για κατάλληλους A,B αντιστρέψημους, οπότε:

\displaystyle{f(Y) = f(AXB) \leq min\{f(A), f(XB)\} \leq f(XB) \leq min\{f(B),f(X)\} \leq f(X)}

και αφού τότε είναι και X \sim Y ομοίως προκύπτει και f(X) \leq f(Y)

Άρα f(X) = f(Y).

ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΣ: Κάθε n \times n πίνακας είναι ισοδύναμος με ακριβώς έναν n \times n πίνακα J_k = \begin{pmatrix} I_k & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, 0 \leq k \leq n

Με βάση τον παραπάνω ισχυρισμό, οι τιμές της f σε όλους τους n \times n πίνακες είναι ακριβώς οι τιμές στους πίνακες J_k, και πρέπει πάνω σε αυτούς η f να παίρνει όλες τις τιμές \{0,1,...,n\}, ενώ ισχύει J_kJ_{k+1} = j_{k} \forall k \in \{0,1,...,n-1\}, οπότε:
f(J_k) = f(J_kj_{k+1}) \leq min\{f(J_k), f(J_{k+1})\} \leq f(J_{k+1})
και αφού οι πίνακες J_k είναι n+1 το πλήθος, αυτό είναι εφικτό μόνο αν
f(J_k) = k \forall k \in \{0,1,...,n\}.
Αυτό σε συνδιασμό με το ότι η f παίρνει την ίδια τιμή σε όλους τους ισοδύναμους πίνακες, μας λέει ότι πρέπει f(X) = rank(X) για κάθε n \times n πινάκα X, ενώ η συνάρτηση αυτή ικανοποιεί όλες τις υποθέσεις του προβλήματος (βλ. βασικές ιδιότητες βαθμού πίνακα).


Απόδειξη του Ισχυρισμού για την ισοδυναμία όλων των n \times n πινάκων με κάποιον J_k:

Έστω X πίνακας n \times n με βαθμό k και έστω f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n η αντίστοιχη γραμμική απεικόνιση, έστω ακόμα \{x_1, x_2, ..., x_{n-k}\} μια βάση του πυρίνα του που επεκτείνουμε σε μια βάση x = \{x_1,...,x_n\} του \mathbb{R}^n.
Είναι γνωστό και εύκολο να δειχτεί ότι \{f(x_{n-k+1}), ... f(x_n)\} είναι μια βάση της εικόνας του X την οποία πάλι επεκτείνουμε σε μια βάση v = \{v_1,...,v_{n-k}, f(x_{n-k+1}),...,f(x_n)\} του \mathbb{R}^n.
Αν A,B είναι οι αντιστρέψιμοι n \times n πίνακες αλλαγής βάσης από την x στην κανονική, και από την κανονική στην v αντίστοιχα, τότε έχουμε
BXA = J_k, καθώς και οι 2 πίνακες στέλνουν το τυχαίο στοιχείο της βάσης x γραμμένο ως προς αυτήν, στην εικόνα του μέσω της f γραμμένο ως προς
τη βάση v, οπότε τελειώσαμε.


Κολλιοπουλος Νικος.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης