SEEMOUS 2010/1

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1303
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

SEEMOUS 2010/1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Σάβ Μαρ 13, 2010 12:18 am

Έστω f_0:[0,1] \to \mathbb{R} μια συνεχής συνάρτηση. Ορίζουμε την ακολουθία συναρτήσεων f_n:[0,1] \to \mathbb{R} ως εξής:

\displaystyle{ f_n(x) = \int_0^x f_{n-1}(t) \, dt.}

(α) Να αποδειχθεί ότι η σειρά των (f_n) συγκλίνει για κάθε x \in [0,1].
(β) Να βρεθεί κλειστός τύπος για την \displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}f_n.}


Σιλουανός Μπραζιτίκος
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: SEEMOUS 2010

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Σάβ Μαρ 13, 2010 10:25 am

Η f_0 ειναι φραγμενη, εστω |f_0(x)| \leq M για x \in [0,1].

Τοτε, αποδεικνυεται ευκολα με επαγωγη οτι \displaystyle |f_n (x)| \leq M \frac{x^n}{n!}, οποτε η ακολουθια μας τεινει κατα σημειο στη μηδενικη συναρτηση.

Επισης, με κριτηριο Weierstrass, βλεπουμε οτι η αντιστοιχη σειρα συγκλινει ομοιομορφα.

Ετσι, εχουμε \displaystyle g(x) = \sum_{n=1}^{\infty} f_n (x) = \sum_{n=1}^{\infty} \int_0^x f_{n-1} (t) dt = \int_0^x f_0 (t) dt + \int_0^x g(t) dt.

Δηλαδη g^{\prime} (x) = f_0(x) + g(x) και g(0) = 0. Αρα \left( g(x) e^{-x} \right)^{\prime} = f_0 (x) e^{-x}, οποτε \displaystyle g(x) = e^x \int_0^x f_0 (t) e^{-t} dt.

Δημητρης Σκουτερης


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2263
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: SEEMOUS 2010

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Σάβ Μαρ 13, 2010 12:29 pm

Mια 2η λύση η οποία στηρίζεται στις ασκήσεις 2Γ1-2Γ2 ολοκληρώματα του βιβλίου που προσφατα ανέβηκε στο αρχείο του :logo: εδώ και εδώ.

Παρατηρούμε ότι \displaystyle{f_n^{(n)}(x)=f_0(x), f_n(0)=0} για κάθε n.
δείχνουμε ότι \displaystyle{f_{n+1}(x)=\int_{0}^{x}{f_0(x)\frac{(x-t)^n}{n!}dt}} (ασκήσεις 2Γ1-2Γ2.)

Για την σύγκλιση όπως ο Δημήτρης.

Για το (β) \displaystyle{g(x)=\int_{0}^{x}{f_0(x)(1+(x-t)+\frac{(x-t)^2}{2!}+...)dt}=\int_{0}^{x}{f_0(x)e^{x-t}dt}=e^x\int_{0}^{x}{f_0(x)e^{-t}dt}}
τελευταία επεξεργασία από R BORIS σε Σάβ Μαρ 13, 2010 7:40 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης