SEEMOUS 2010/2

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1303
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

SEEMOUS 2010/2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Σάβ Μαρ 13, 2010 12:18 am

Στο εσωτερικό τετραγώνου θεωρούμε κύκλους έτσι ώστε το άθροισμα των περιφερειών τους να είναι δύο φορές η περίμετρος του τετραγώνου.
(α) Να βρεθεί ο ελάχιστος αριθμός κύκλων με αυτή την ιδιότητα. (3 πόντοι)
(β) Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν άπειρες ευθείες οι οποίες τέμνουν τουλάχιστον 3 από τους κύκλους. (7 πόντοι)


Σιλουανός Μπραζιτίκος
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: SEEMOUS 2010

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Σάβ Μαρ 13, 2010 1:25 pm

Διεγραψα εσφαλμενη λυση.

Δημητρης
τελευταία επεξεργασία από dement σε Σάβ Μαρ 13, 2010 1:30 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1303
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: SEEMOUS 2010

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Σάβ Μαρ 13, 2010 1:27 pm

dement έγραψε: Τοτε, \displaystyle \frac{16}{n \pi^2} = \frac{S ^2}{n} \leq S_2 \leq \frac{1}{\pi} απο οπου εχουμε n \geq \frac{16}{\pi} και, αφου ειναι ακεραιος, n \geq 6.
Κάποιο αριθμητικό μάλλον έχει γίνει, γιατί η απάντηση δεν είναι τελικά αυτή. Να τονίσω ότι οι κύκλοι μπορεί να είναι και επικαλυπτόμενοι, δηλαδή σε τυχαία διάταξη μέσα στο τετράγωνο


Σιλουανός Μπραζιτίκος
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: SEEMOUS 2010

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Σάβ Μαρ 13, 2010 1:30 pm

Ουπς ! Υπεθεσα οτι οι κυκλοι δεν επικαλυπτονται! Οποτε γραψε λαθος.

Τοτε, αφου καθε κυκλος εχει μεγιστη ακτινα 1/2 και μεγιστη περιφερεια \pi, χρειαζονται τουλαχιστον \lceil \frac{8}{\pi} \rceil = 3 κυκλοι. Με τους οποιους φυσικα γινεται η δουλεια μας.

Οσον αφορα το β' ερωτημα, νομιζω η απαντηση μου μπορει να παραμεινει. Για καθε κυκλο, το ορθογωνιο με πλευρες παραλληλες προς αυτες του τετραγωνου, οριζοντιες πλευρες εφαπτομενες στον κυκλο και καθετες πλευρες εσωτερικες στις πλευρες του τετραγωνου εχει εμβαδο 2r, οπου r η ακτινα του κυκλου. Το συνολικο εμβαδον των ορθογωνιων θα ειναι λοιπον 2 \sum r = \frac{8}{\pi} > 2, δηλαδη μεγαλυτερο του διπλασιου εμβαδου του τετραγωνου. Ετσι, τουλαχιστον μια οριζοντια ευθεια θα τεμνει εσωτερικα τουλαχιστον τρεις κυκλους, οποτε υπαρχουν απειρες τετοιες ευθειες.


Δημητρης Σκουτερης
τελευταία επεξεργασία από dement σε Σάβ Μαρ 13, 2010 1:42 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης