SEEMOUS 2010/2

#1

Στο εσωτερικό τετραγώνου θεωρούμε κύκλους έτσι ώστε το άθροισμα των περιφερειών τους να είναι δύο φορές η περίμετρος του τετραγώνου.
(α) Να βρεθεί ο ελάχιστος αριθμός κύκλων με αυτή την ιδιότητα. (3 πόντοι)
(β) Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν άπειρες ευθείες οι οποίες τέμνουν τουλάχιστον 3 από τους κύκλους. (7 πόντοι)

dement · #2

Διεγραψα εσφαλμενη λυση.

Δημητρης

#3

dement έγραψε: Τοτε, $\displaystyle \frac{16}{n \pi^2} = \frac{S ^2}{n} \leq S_2 \leq \frac{1}{\pi}$ απο οπου εχουμε $n \geq \frac{16}{\pi}$ και, αφου ειναι ακεραιος, $n \geq 6$ .

Κάποιο αριθμητικό μάλλον έχει γίνει, γιατί η απάντηση δεν είναι τελικά αυτή. Να τονίσω ότι οι κύκλοι μπορεί να είναι και επικαλυπτόμενοι, δηλαδή σε τυχαία διάταξη μέσα στο τετράγωνο

dement · #4

Ουπς ! Υπεθεσα οτι οι κυκλοι δεν επικαλυπτονται! Οποτε γραψε λαθος.

Τοτε, αφου καθε κυκλος εχει μεγιστη ακτινα 1/2

και μεγιστη περιφερεια $\pi$ , χρειαζονται τουλαχιστον $\lceil \frac{8}{\pi} \rceil = 3$ κυκλοι. Με τους οποιους φυσικα γινεται η δουλεια μας.

Οσον αφορα το β' ερωτημα, νομιζω η απαντηση μου μπορει να παραμεινει. Για καθε κυκλο, το ορθογωνιο με πλευρες παραλληλες προς αυτες του τετραγωνου, οριζοντιες πλευρες εφαπτομενες στον κυκλο και καθετες πλευρες εσωτερικες στις πλευρες του τετραγωνου εχει εμβαδο

, οπου

η ακτινα του κυκλου. Το συνολικο εμβαδον των ορθογωνιων θα ειναι λοιπον $2 \sum r = \frac{8}{\pi} > 2$ , δηλαδη μεγαλυτερο του διπλασιου εμβαδου του τετραγωνου. Ετσι, τουλαχιστον μια οριζοντια ευθεια θα τεμνει εσωτερικα τουλαχιστον τρεις κυκλους, οποτε υπαρχουν απειρες τετοιες ευθειες.

Δημητρης Σκουτερης

SEEMOUS 2010/2

SEEMOUS 2010/2

Re: SEEMOUS 2010

Re: SEEMOUS 2010

Re: SEEMOUS 2010

Μέλη σε σύνδεση