SEEMOUS 2010/4

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1303
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

SEEMOUS 2010/4

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Σάβ Μαρ 13, 2010 12:18 am

Υποθέτουμε ότι οι A,B, είναι n \times n πίνακες με ακέραια στοιχεία και \det(B) \neq 0. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει m \in \mathbb{N} έτσι ώστε το γινόμενο AB^{-1} να γράφεται στη μορφή

\displaystyle{AB^{-1} = \sum_{k=1}^m N_k^{-1}}

όπου N_k είναι πίνακες με ακέραια στοιχεία για κάθε k=1,2,\ldots,m και N_i \neq N_j για i \neq j.


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8571
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: SEEMOUS 2010

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Μαρ 13, 2010 6:04 pm

Βάζω μια λύση για το (4) διαφορετική από την επίσημη.

Αρκεί να δείξω ότι για κάθε n \times n πίνακα A με ρητά στοιχεία, υπάρχουν διακεκριμένοι αντιστρέψιμοι πίνακες N_1,N_2,\ldots,N_m με ακέραια στοιχεία ώστε A = \sum_{i=1}^m N_i^{-1}.

Για n = 1 η απόδειξη είναι με αιγυπτιακά κλάσματα ακριβώς όπως στην επίσημη λύση.

Παρατηρώ ότι αν ο N είναι αντιστρέψιμος πίνακας με ακέραια στοιχεία τότε και ο adj(N) έχει ακέραια στοιχεία, και είναι αντιστρέψιμος με αντίστροφο τον N/\det(N).

Για i \neq j με 1 \leqslant i,j \leqslant n και p \in \mathbb{Z},q \in \mathbb{N} ορίζω τον n \times n πίνακα M(i,j,p,q) να έχει q στην θέση (1,1), άσους στις υπόλοιπες θέσεις της διαγωνίου, p στην θέση (i,j) και μηδενικά στις υπόλοιπες θέσεις. Τότε ο M(i,j,p,q)/\det(M(i,j,p,q)) έχει p/q στην θέση (i,j) και μηδενικά σε όλες τις υπόλοιπες θέσεις που δεν είναι πάνω στην κύρια διαγώνιο. Χρησιμοποιώντας πίνακες της μορφής M(i,j,p,q) μπορώ να υποθέσω* ότι ο A έχει μη μηδενικά στοιχεία μόνο πάνω στην κύρια διαγώνιο.

*Αρκεί να μην ξαναχρησιμοποιήσω πίνακες της μορφής M(i,j,p,q). Όλοι όμως οι πίνακες που θα χρησιμοποιήσω από τώρα και στο εξής θα είναι διαγώνιοι.

Αρκεί να δείξω ότι για κάθε ρητό p/q και κάθε 1 \leqslant i \leqslant n, ο πίνακας που έχει p/q στην θέση (i,i) και 0 αλλού μπορεί να γραφεί σαν άθροισμα \sum_{r=1}^m{M_r} όπου οι πίνακες M_1,\ldots,M_r είναι διακεκριμένοι, διαγώνιοι, στην θέση (i,i) έχουν 1/s για κάποιο s \in \mathbb{Z} με |s| \geqslant 3 και στις υπόλοιπες διαγώνιες θέσεις έχουν είτε 1 είτε -1 είτε 1/2 είτε -1/2

Γράφουμε όμως το |p/q| σαν αιγυπτιακό κλάσμα με τουλάχιστον δύο κλάσματα (με όλους τους παρονομαστές μεγαλύτερους ή ίσους του 3). Σε κάθε M_r βάζουμε το αντίστοιχο κλάσμα στην θέση (i,i) και διαλέγουμε πρόσημο το ίδιο με το πρόσημο του p/q. Στις υπόλοιπες διαγώνιες θέσεις βάζουμε είτε 1 είτε -1 είτε 1/2 είτε -1/2 ώστε το άθροισμα να ισούται με 0. Μπορούμε πάντα να το κάνουμε. Π.χ. αν έχουμε άρτιο αριθμό πινάκων βάζουμε στις μισές θέσεις το 1 και στις άλλες μισές το -1. Αν έχουμε περιττό βάζουμε στην πρώτη το 1 στην δεύτερη και τρίτη -1/2 και στις υπόλοιπες \pm 1 εναλλάξ.

Ελπίζω να μην έχασα τίποτα.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης