SEEMOUS 2007/2

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8468
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

SEEMOUS 2007/2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Ιαν 27, 2012 4:22 pm

Για x = (x_1,\ldots,x_n)^T \in \mathbb{R}^n ορίζουμε f(x) = \max\limits_{1 \leqslant i \leqslant n}|x_i|. Έστω A ένας n \times n πραγματικός πίνακας ώστε f(Ax) = f(x) για κάθε x \in \mathbb{R}^n. Να δειχθεί ότι υπάρχει θετικός ακέραιος m ούτως ώστε ο A^m να είναι ο ταυτοτικός πίνακας I_n.

Υ.Γ. Στο αρχείο pdf από όπου πήρα την άσκηση δεν φαίνεται ξεκάθαρα αν το σώμα που δουλεύουμε είναι το \mathbb{R} ή όχι, και δεν λέει ότι ο A είναι απαραίτητα πραγματικός. Νομίζω όμως πως αυτή η συνθήκη είναι απαραίτητη για την ισχύ της άσκησης.


peter
Δημοσιεύσεις: 228
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 30, 2009 2:21 pm

Re: SEEMOUS 2007/2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από peter » Σάβ Απρ 21, 2012 1:44 am

Γράφουμε T=T_A για τον γραμμικό τελεστή που αντιστοιχεί στον πίνακα A. Επίσης, γράφουμε \ell_\infty^n για τον \mathbb R^n εφοδιασμένο με την supremum νόρμα \|\cdot\|_\infty και B_\infty^n για τη μοναδιαία μπάλα αυτού του χώρου, δηλαδή τον n-διάστατο κύβο [-1,1]^n.

Η υπόθεση μας λέει ότι ο T:\ell_\infty^n\to \ell_\infty^n είναι γραμμική ισομετρία (κι άρα επί). Σκοπός μας είναι να δείξουμε ότι υπάρχει m\in \mathbb N ώστε ο T^m να είναι ο ταυτοτικός. Παρατηρούμε το εξής:

Ισχυρισμός. Αν το v είναι κορυφή του B_\infty^n (δηλαδή v\in \{-1,1\}^n), τότε το Tv είναι επίσης κορυφή.

Αν δεχθούμε το παραπάνω τότε τελειώσαμε: ο T είναι μετάθεση του συνόλου {\cal V}=\{v \mid v\in \{-1,1\}^n\} των κορυφών του B_\infty^n, άρα υπάρχει m\leq 2^n ώστε ο T^m να είναι η ταυτοτική μετάθεση, δηλαδή T^mv=v για κάθε v\in \{-1,1\}^n. Τότε, για κάθε x\in B_\infty^n ισχύει T^mx=x.

Πράγματι, αν x\in B_\infty^n υπάρχει k\in \mathbb N (μάλιστα k\leq n+1), v_1,\ldots,v_k\in \{-1,1\}^n και \lambda_1,\ldots,\lambda_k\geq 0 με \sum_{j=1}^k\lambda_j=1 ώστε x=\sum_{j=1}^k \lambda_j v_j. Έπεται ότι
T^mx=T^m\left(\sum_{j=1}^k\lambda_jv_j\right)=\sum_{j=1}^k\lambda_j T^m(v_j)=\sum_{j=1}^k\lambda_j v_j=x, αφού ο T^m δρα ταυτοτικά στο \{-1,1\}^n.
Συμπεραίνουμε ότι T^m=I.

Απόδειξη του ισχυρισμού. Έστω v κορυφή. Καθώς \|Tv\|_\infty=\|v\|_\infty=1 έπεται ότι το Tv κείται σε κάποια έδρα του κύβου. Αν δεν είναι κορυφή, τότε υπάρχουν N\geq 2, t_1,\ldots,t_N>0 με \sum_{j=1}^Nt_j=1 και διακεκριμένες κορυφές u_1,\ldots,u_N (απ' αυτές που βρίσκονται στην έδρα) ώστε Τv=\sum_{j=1}^Nt_ju_j. Έπεται ότι v=\sum_{j=1}^Nt_jw_j, όπου w_j=T^{-1}(u_j) και \|w_j\|_\infty=1. Δηλαδή έχουμε γράψει την κορυφή, ως (γνήσιο) κυρτό συνδυασμό τουλάχιστον δυο σημείων του κύβου. Καθώς, το v είναι ακραίο σημείο, έπεται ότι v=w_1=\ldots=w_N κι έχουμε άτοπο.


Δημήτρη γνωρίζεις την προτεινόμενη λύση του διαγωνισμού;


Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1288
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: SEEMOUS 2007/2

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Σάβ Απρ 21, 2012 2:12 am

Πέτρο, πολύ ωραία λύση. Έχω να προτείνω κάτι λιγότερο εκλεπτυσμένο. Θα πάω ψάχνοντας για τον "προσδιορισμό" του A=(a_{ij}).
Αν x=e_1,...,e_n τότε παίρνουμε ότι \max_{i} a_{ij}=1 για κάθε j. Παίρνοντας τώρα για x τις γραμμές του A και τις στήλες (εκμεταλλεύομαι ότι f(x)\leq 1 και την παραπάνω) παίρνω ότιn\leq\sum_{i,j} a_{ij}^2\leq n
Άρα σε κάθε στήλη έχουμε ακριβώς ένα μη μηδενικό στοιχείο, με μέτρο 1. Αυτό σημαίνει ότι σε κάποια δύναμή του ο A έχει στοιχεία στη διαγώνιό του με μέτρο 1, άρα αυτή η δύναμη είναι ο ταυτοτικός.


Σιλουανός Μπραζιτίκος
peter
Δημοσιεύσεις: 228
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 30, 2009 2:21 pm

Re: SEEMOUS 2007/2

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από peter » Κυρ Απρ 22, 2012 12:58 pm

Ωραίος Σιλουανέ. Κομψός και σύντομος! ;)


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 9 επισκέπτες