SEEMOUS 2007/3

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8571
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

SEEMOUS 2007/3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Ιαν 27, 2012 4:26 pm

Έστω σώμα F και συνάρτηση P:F \times F \to F ώστε για κάθε x_0 \in F η συνάρτηση P(x_0,y) είναι πολυώνυμο στο y και για κάθε y_0 \in F η συνάρτηση P(x,y_0) είναι πολυώνυμο στο x. Αληθεύει ότι η P είναι απαραίτητα πολυώνυμο στα x και y όταν
(α) F = \mathbb{Q}, το σώμα τον ρητών αριθμών,
(β) το F είναι ένα πεπερασμένο σώμα.
Να αποδειχθούν οι ισχυρισμοί σας.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8571
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: SEEMOUS 2007/3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Φεβ 02, 2012 1:29 pm

Δίνω την απάντηση που βρήκα:

(α) Δεν ισχύει. Έστω q_1,q_2,\ldots μια απαρίθμηση των ρητών και έστω \displaystyle{ P(x,y) = \sum_{n=1}^{\infty}(x-q_1) \cdots (x-q_n)(y-q_1) \cdots (y-q_n).} Αν y_0 \in \mathbb{Q}, έστω y = q_r τότε \displaystyle{ P(x,y_0) = \sum_{n=1}^{\infty}(x-q_1) \cdots (x-q_n)(q_r-q_1) \cdots (q_r-q_n) = \sum_{n=1}^{r-1}(x-q_1) \cdots (x-q_n)(q_r-q_1) \cdots (q_r-q_n)} το οποίο είναι πολυώνυμο στο x βαθμού (το πολύ) r-1. Ομοίως αν x_0 \in \mathbb{Q} τότε το P(x_0,y) είναι πολυώνυμο στο y. Όμως το P(x,y) δεν είναι πολυώνυμο στα x,y. Πράγματι ας υποθέσουμε πως είναι. Τότε μπορούμε να το γράψουμε στην μορφή P(x,y) = P_0(y) + P_1(y)x + \cdots + P_m(y)x^m για κάποιο θετικό ακέραιο m και κάποια πολυώνυμα P_0,\ldots,P_m. Όμως τότε το P(x,q_{m+2}) είναι πολυώνυμο του x βαθμού το πολύ m, άτοπο αφού ο συντελεστής του x^{m+1} του P(x,q_{m+2}) ισούται με (q_{m+2}-q_1) \cdots (q_{m+2}-q_{m+1}) \neq 0.

(β) Ισχύει. Θα δείξουμε μάλιστα ότι κάθε συνάρτηση P:F\times F \to F είναι πολυωνυμική. Πράγματι αν |F| =q τότε υπάρχουν ακριβώς q^3 συναρτήσεις P:F\times F \to F. (q επιλογές για την πρώτη μεταβλητή, q για την δεύτερη και q για την τιμή του P σε αυτές τις μεταβλητές.) Θεωρούμε τα πολυώνυμα \displaystyle{ \sum_{n=0}^{q-1}\sum_{m=0}^{q-1}a_{m,n}x^my^n} για a_{m,n} \in F. Υπάρχουν ακριβώς q^3 τέτοια πολυώνυμα. Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι οι πολυωνυμικές συναρτήσεις που ορίζουν είναι όλες διαφορετικές. Επειδή η διαφορά δυο πολυωνύμων αυτής της μορφής είναι πολυώνυμο της ίδιας μορφής αρκεί να δείξουμε ότι αν \displaystyle{ \sum_{n=0}^{q-1}\sum_{m=0}^{q-1}a_{m,n}x^my^n = 0} για κάθε x,y\in F τότε απαραίτητα a_{m,n} = 0 για κάθε m,n. Για κάθε y_0 \in F το πολυώνυμο \displaystyle{\sum_{n=0}^{q-1}\sum_{m=0}^{q-1}a_{m,n}x^my_0^n} είναι βαθμού το πολύ q-1 και έχει ρίζες όλα τα q στοιχεία του F. Επειδή βρισκόμαστε σε σώμα αυτό είναι αδύνατον εκτός και αν το πολυώνυμο είναι ταυτοτικά 0. Δηλαδή για κάθε y_0 \in F και κάθε 0 \leqslant n \leqslant q-1 έχουμε ότι \displaystyle{ \sum_{n=0}^{q-1}a_{m,n}y_0^n = 0.} Άρα κάθε ένα από τα πολυώνυμα \displaystyle{P_m(y) = \sum_{n=0}^{q-1}a_{m,n}y^n} έχει ρίζες όλα τα q στοιχεία του F και με την ίδια απόδειξη όπως προηγουμένως βλέπουμε ότι κάθε ένα από τα P_m είναι ταυτοτικά 0 και άρα όλα τα a_{m,n} ισούνται με 0 όπως θέλαμε να δείξουμε.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης