SEEMOUS 2011/4

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8571
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

SEEMOUS 2011/4

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Μαρ 02, 2011 11:04 am

Έστω f :[0,1]\to \mathbb{R} αύξουσα συνάρτηση με συνεχή δεύτερη παράγωγο. Ορίζουμε ακολουθίες

\displaystyle{L_n=\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\left(\frac{k}{n}\right)} και

\displaystyle{U_n=\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)}

για n \geqslant 1. Διαιρούμε το διάστημα [L_n,U_n] σε τρία ίσα τμήματα. Να αποδειχθεί ότι για αρκετά μεγάλο n o αριθμός \displaystyle{I= \int_0^1 f(x) \; dx} ανήκει στο μεσαίο από αυτά τα τμήματα.
τελευταία επεξεργασία από Demetres σε Τετ Φεβ 01, 2012 7:28 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Μεταφορά από μεταγενέστερη δημοσίευση ώστε να εμφανιστεί η εκφώνηση πριν την λύση


Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 659
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Peking University, Πεκίνο

Re: SEEMOUS 2011

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Σάβ Μαρ 05, 2011 11:54 am

Χτες βράδυ βρήκα και μια λύση για το 4ο, αλλά πιστεύω πως ισως να είναι και λάθος γιατί δε χρησημοποιώ το C^2... Για να δούμε:

Αν f σταθερή τότε είναι προφανές, υποθέτουμε f(1) > f(0)
Ορίζω F(x) την παράγουσα με F(0) = 0 (ολοκλήρωμα από 0 μέχρι x)
Γράφουμε:
[a_n, b_n] για το ενδιάμεσο διάστημα και
I = F(1) - F(0) = F(1) - F(\frac{n-1}{n}) + F(\frac{n-1}{n}) - ... - F(0)
Και από ανάπτυγμα Taylor:
F(\frac{i}{n}) - F(\frac{i-1}{n}) = \frac{1}{n}f(\frac{i-1}{n}) + \frac{1}{2n^2}f'(j_i)
οπότε είναι εύκολο να δούμε ότι:
n(I - a_n) = -\frac{1}{3}(f(1) - f(0)) + \frac{1}{2}R_n \rightarrow (\frac{1}{2} - \frac{1}{3})(f(1) - f(0)) > 0
που ολοκληρώνει την απόδειξη για το κάτω άκρο, με το R_n να είναι άθροισμα Riemann για την f' στο [0,1] και επομένως πάει στο f(1) - f(0).

Για το άλλο άκρο έχουμε ομοίως:
n(I - b_n) \rightarrow (\frac{1}{2} - \frac{2}{3})(f(1) - f(0)) < 0
και έτσι η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Χάνω πουθενά???


Κολλιοπουλος Νικος.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8571
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: SEEMOUS 2011

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Μαρ 05, 2011 1:18 pm

Νίκο, δεν βλέπω τίποτα λάθος.

Νομίζω ότι η ίδια απόδειξη δείχνει ότι αν χωρίσουμε το [L_n,U_n] σε περιττό αριθμό διαστημάτων, τότε για αρκετά μεγάλο n το \displaystyle{ \int_0^1 f(x) \; dx} θα βρίσκεται στο μεσαίο διάστημα.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης