SEEMOUS 2011/2

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8571
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

SEEMOUS 2011/2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Μαρ 02, 2011 11:04 am

Έστω A = (a_{ij}) πραγματικός n \times n πίνακας ώστε A^n \neq 0 και a_{ij}a_{ji} \leqslant 0 για κάθε i,j. Να δειχθεί ότι ο A έχει τουλάχιστον δύο μη πραγματικές ιδιοτιμές.
τελευταία επεξεργασία από Demetres σε Τετ Φεβ 01, 2012 7:24 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Μεταφορά από μεταγενέστερη δημοσίευση ώστε να εμφανιστεί η εκφώνηση πριν την λύση


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8571
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: SEEMOUS 2011

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Μαρ 04, 2011 11:21 pm

Μια σύντομη λύση:

Παρατηρούμε ότι a_{ii} = 0 για κάθε i και άρα αναγκαστικά n \geqslant 2

Έστω \lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου του A. Τότε

\sum_{i=1}^n \lambda_i^2 = tr(A^2) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}a_{ji} \leqslant 0.

Αν όλα τα \lambda_i είναι πραγματικοί, τότε πρέπει να ισούνται με 0. Αυτό όμως δίνει A^n = 0, άτοπο. Άρα το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του A έχει τουλάχιστον μία μη πραγματική ρίζα και άρα (αφού είναι πραγματικό πολυώνυμο) τουλάχιστον δύο διαφορετικές μη πραγματικές ρίζες. Εφ' όσων είναι διαφορετικές, και οι δύο πρέπει να δίνουν από μία μη πραγματική ιδιοτιμή.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: SemrushBot και 1 επισκέπτης