SEEMOUS 2011/2

#1

Έστω $A = (a_{ij})$ πραγματικός $n \times n$ πίνακας ώστε $A^n \neq 0$ και $a_{ij}a_{ji} \leqslant 0$ για κάθε i,j

. Να δειχθεί ότι ο

έχει τουλάχιστον δύο μη πραγματικές ιδιοτιμές.

#2

Μια σύντομη λύση:

Παρατηρούμε ότι $a_{ii} = 0$ για κάθε

και άρα αναγκαστικά $n \geqslant 2$

Έστω $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n$ οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου του

. Τότε

$\sum_{i=1}^n \lambda_i^2 = tr(A^2) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij}a_{ji} \leqslant 0$ .

Αν όλα τα $\lambda_i$ είναι πραγματικοί, τότε πρέπει να ισούνται με 0. Αυτό όμως δίνει A^n = 0

, άτοπο. Άρα το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του

έχει τουλάχιστον μία μη πραγματική ρίζα και άρα (αφού είναι πραγματικό πολυώνυμο) τουλάχιστον δύο διαφορετικές μη πραγματικές ρίζες. Εφ' όσων είναι διαφορετικές, και οι δύο πρέπει να δίνουν από μία μη πραγματική ιδιοτιμή.

SEEMOUS 2011/2

SEEMOUS 2011/2

Re: SEEMOUS 2011

Μέλη σε σύνδεση