Σελίδα 1 από 1

SEEMOUS 2011/3

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Μαρ 05, 2011 8:59 pm
από Demetres
Δίνονται διανύσματα \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c} \in \mathbb{R}^n. Να αποδειχθεί ότι

\displaystyle{ 
(\|\mathbf{a}\|(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}))^2 + (\|\mathbf{b}\|(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}))^2 \leqslant \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| \|\mathbf{c}\|^2 (\|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\| + |\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}|) 
}

Re: SEEMOUS 2011/3

Δημοσιεύτηκε: Παρ Αύγ 23, 2013 7:30 pm
από Zarifis
Demetres έγραψε:Δίνονται διανύσματα \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c} \in \mathbb{R}^n. Να αποδειχθεί ότι

\displaystyle{ 
(\|\mathbf{a}\|(\mathbf{b} \cdot \mathbf{c}))^2 + (\|\mathbf{b}\|(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}))^2 \leqslant \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| \|\mathbf{c}\|^2 (\|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\| + |\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}|) 
}
Έχουμε ότι \displaystyle{(a \cdot b)=\parallel a\parallel \parallel b\parallel cos\theta} όποτε η αρχικη σχέση γίνεται (με παραγωντοποιήσεις)
\displaystyle{\parallel a\parallel^2 \parallel b\parallel^2 \parallel c\parallel^2(cos^2\theta_1 +cos^2\theta_2) \leq \parallel a\parallel^2 \parallel b\parallel^2 \parallel c\parallel^2(1+|cos\theta_3|)  }
Το οποίο είναι ισοδύναμο με \displaystyle{1+|cos\theta_3| -(cos^2\theta_1 +cos^2\theta_2)\geq 0 }
Όπωτε Θεωρώ συνάρτηση \displaystyle{h(x,y,z)=1+|cosx| -cos^2y -cos^2z } με συνθήκη \displaystyle{t(x,y,z)=x +y+z -2\pi =0} (Παίρνουμε τα διανίσματα ως συνενιεπίπεδα, δουλεύωντας με την προβολή του 3ο στο επίπεδο που ορίζουν τα άλλα 2).
Χρησημοποιώντας Πολλαπλασιαστές Lagrange θέτω \displaystyle{F(x,y,z,w)=h(x,y,z)+wt(x,y,z)}
όποτε πέρνω \displaystyle{\frac{\partial F}{\partial x_i}}=0} ως προς κάθε μεταβλητή . Κι προκύπτει το ακόλουθω σύστημα:
\displaystyle{\begin{cases}  w=sinx x\in(0,\pi/2)\bigcup(3\pi/2,2\pi) or w=-sinx  \\ w=2cosysiny \\w=2coszsinz \\2\pi=x+y+z \end{cases}}
Χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές ταυτότητες αθροισματός προκύπτει μοναδική λύση το \displaystyle{y=z=\pi ,x=0,w=0}
Όπωτε βρίσκουμε τα \displaystyle{\frac{\partial^2 F}{\partial x^2}}|_{x_0,y_0,z_0,w_0}=1},\displaystyle{\frac{\partial^2 F}{\partial xy}}|_{x_0,y_0,z_0,w_0}=0}
(Λόγω συμμετρίας κι Clairaut ίσχευει για κάθε συνδιασμό ανα 2 του x,y,z )
\displaystyle{\frac{\partial^2 F}{\partial y^2}}|_{x_0,y_0,z_0,w_0}=2} και \displaystyle{\frac{\partial^2 F}{\partial z^2}}|_{x_0,y_0,z_0,w_0}=2}
και \displaystyle{\frac{\partial t}{\partial x}}|_{x_0,y_0,z_0}=1}
Έστω \displaystyle{\delta_1=\begin{vmatrix} 
F_{xx} &F_{xy}  &F_{xz}  &t_x \\  
 F_{xy}&  F_{yy}& F_{yz} & t_y\\  
 F_{xz}&F_{yz}  &F_{zz}  & t_z\\  
 t_x&  t_y&  t_z& 0 
\end{vmatrix}|_{x_0,y_0,z_0,w_0}=\begin{vmatrix} 
1 &0  &0  &1 \\  
 0&  2& 0 & 1\\  
 0&0  &2  & 1\\  
 1&  1&  1& 0 
\end{vmatrix}=-6<0}
Και \displaystyle{\delta_2 =\begin{vmatrix} 
  F_{yy}& F_{yz} & t_y\\  
F_{yz}  &F_{zz}  & t_z\\  
t_y&  t_z& 0 
\end{vmatrix}|_{x_0,y_0,z_0,w_0}=\begin{vmatrix} 
  2& 0 & 1\\  
0  &2 &  1\\  
1& 1& 0 
\end{vmatrix}=-4<0}
Τέλος ελένχουμε το x=\pi/2,3\pi/2 όπου δεν είναι παραγωγίσημη αλλά είναι κρίσιμα σημεία η F κι βλέπουμε ότι δεν υπάρχει ακρότατο.Όπωτε εδώ έχουμε τοπικό ελάχιστο που στην συγκεκριμένει περίπτωση αφου είναι μοναδικό είναι ολικό ελάχιστό .Και βλέπουμε πως για τις τιμές αυτές έχουμε ισότητα.
(Ευχάριστω τον Demetres για τις παρατηρήσεις του)