Καλές ακολουθίες

#1

Ονομάζουμε μια ακολουθία (x_n)

καλή αν η σειρά $\sum x_n^2$ συγκλίνει. Έστω μια ακολουθία (a_n)

ώστε η σειρά $\sum a_nx_n$ να συγκλίνει για κάθε καλή ακολουθία (x_n)

. Να δειχθεί ότι η ακολουθία (a_n)

είναι καλή.

#2

Demetres έγραψε:Ονομάζουμε μια ακολουθία καλή αν η σειρά $\sum x_n^2$ συγκλίνει. Έστω μια ακολουθία ώστε η σειρά $\sum a_nx_n$ να συγκλίνει για κάθε καλή ακολουθία . Να δειχθεί ότι η ακολουθία είναι καλή.

Πρώτα (γνωστά) δύο λήμματα.

1) Αν b_n > 0

και $\displaystyle \sum b_n$ αποκλίνει, τότε αποκλίνει και $\displaystyle \sum \frac {b_n}{s_n}$ όπου $\displaystyle{s_n= \sum _{k=1}^n b_k}$ ,
2) Αν b_n > 0

και $\displaystyle{s_n= \sum _{k=1}^n b_k}$ , τότε η $\displaystyle \sum \frac {b_n}{s_n^2}$ συγκλίνει (ότι και να κάνει η $\displaystyle \sum b_n$ )

Απόδειξη. 1) H $\displaystyle{(s_n)}$ είναι προφανώς αύξουσα. Για $\displaystyle{m>n}$ είναι

$\displaystyle{ \frac {b_m}{s_m} + ... + \frac {b_n}{s_n} \ge \frac {b_m+ ... + b_n}{s_m}= \frac {s_m-s_{n-1}}{s_m}\to 1 }$ καθώς $m\to \infty$

άρα η σειρά αποκλίνει από κριτήριο Cauchy.

2) Παρατηρούμε ότι η $\displaystyle{ \left ( \frac {1}{s_n}\right) }$ είναι φραγμένη είτε $s_n \to \infty$ είτε συγκλίνει. Τώρα, για n>1

ισχύει $\displaystyle{0< \frac {b_n}{s_n^2} \le \frac {b_n} {s_ns_{n-1}} = \frac {1}{s_n} - \frac {1}{s_{n-1}} }$ . Η σειρά με όρους αυτούς στο δεξί μέλος συγκλίνει ως τηλεσκοπικό, οπότε το ίδιο συμβαίνει και για τη σειρά με τους θετικούς όρους αριστερά.

Πίσω στην ωραία αυτή άσκηση: Παίρνοντας $\displaystyle{\pm x_n}$ στη θέση του $\displaystyle{x_n}$ έπεται από τις υποθέσεις ότι $\sum |a_n||x_n|$ να συγκλίνει για κάθε καλή ακολουθία (x_n)

$\displaystyle{(*)}$ .

Θέτουμε $\displaystyle{t_n= \sum _{k=1}^n a_k^2}$ . Από την 2) η $\displaystyle{ \left ( \frac {a_n}{t_n} \right)}$ είναι καλή. Από την (*)

έπεται ότι συγκλίνει η $\displaystyle{ \sum |a_n|\cdot \frac {|a_n|}{|t_n|}} = \sum \frac {a_n^2}{t_n}}$ . Από 1) συγκλίνει και η $\displaystyle{\sum a_n^2}$ , όπως θέλαμε.

Ουφ.

Φιλικά,

Μιχάλης

#3

Η άσκηση είναι από τον δεύτερο προκριματικό διαγωνισμό του Ισραήλ για τον SEEMOUS από το 2008. Θα δώσω πληροφορίες για το που μπορείτε να βρείτε τις ασκήσεις του διαγωνισμού εντός ολίγου.

Επεξεργασία: Ο διαγωνισμός μπορεί να βρεθεί από τον σύνδεσμο που βρίσκεται εδώ.

Ilias_Zad · #4

Αλλιώς , wlog a_n>0

για κάθε

. Aν

τότε εύκολα κάθε T_n

είναι φραγμένος γραμμικός τελεστής από τον l_2

στον

.
Επίσης για κάθε (x_m)

στον

, $sup_{n} (||T_n( (x_m) )||_1)=\sum a_i|x_i| < +\infty$ . Οπότε αφού l_2 ,l_1

Banach από αρχή ομοιόμορφου φράγματος υπάρχει M>0

ώστε

. Οπότε αφού για κάθε

ισχύει ότι ||T_m( (a_n))||<M

έπεται ότι $\sum_{i=0}^{\infty} a_i^2 <M^2$ και άρα (a_n)

καλή όπως θέλαμε.

#5

Ilias_Zad έγραψε:Αλλιώς , wlog για κάθε . Aν τότε εύκολα κάθε είναι φραγμένος γραμμικός τελεστής από τον στον .

Ηλία, δεν το βλέπω αλλά μπορεί να φταίει η κούραση. Όμως αυτό που βλέπω είναι ότι φτιάχνει αν θεωρήσουμε τον T_n

όχι από τον l_2

στον

αλλά να τον αλλάξουμε λίγο: $T_n: l_2 \to \mathbb R$ , με T_n( ( x_n ) )= a_1x_1 + ...+a_nx_n

.

Τότε από C-S έχουμε $\displaystyle{ |T_n( ( x_n ) )| \le \sum _{k=0}^n |a_kx_k| \le \left (\sum_{k=0}^n a_k^2\right) ^{1/2}\left (\sum_{k=0}^n x_k^2\right) ^{1/2} = \left (\sum_{k=0}^n a_k^2\right) ^{1/2} ||(x_n)||_2$ .

Άρα T_n

φραγμένος (συνεχής) με

$\displaystyle{ ||T_n|| \le \left (\sum_{k=0}^n a_k^2\right) ^{1/2}$ .

Αποδεικνύεται η ισότητα (απλό αλλά και απαραίτητο) για να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα ομοιομόρφου φράγματος (αλλιώς δείχνουμε μόνο ότι τα ||T_n||

φράσσονται και όχι τα $\displaystyle{\left (\sum_{k=0}^n a_k^2\right )^{1/2}$ .

Φιλικά,

Μιχάλης

Ilias_Zad · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Ilias_Zad έγραψε:Αλλιώς , wlog για κάθε . Aν τότε εύκολα κάθε είναι φραγμένος γραμμικός τελεστής από τον στον .
Ηλία, δεν το βλέπω αλλά μπορεί να φταίει η κούραση. Όμως αυτό που βλέπω είναι ότι φτιάχνει αν θεωρήσουμε τον όχι από τον στον αλλά να τον αλλάξουμε λίγο: $T_n: l_2 \to \mathbb R$ , με .

Τότε από C-S έχουμε $\displaystyle{ |T_n( ( x_n ) )| \le \sum _{k=0}^n |a_kx_k| \le \left (\sum_{k=0}^n a_k^2\right) ^{1/2}\left (\sum_{k=0}^n x_k^2\right) ^{1/2} = \left (\sum_{k=0}^n a_k^2\right) ^{1/2} ||(x_n)||_2$ .

[/tex].

Η ίδια απόδειξη που κάνετε για το ότι είναι φραγμένοι οι τελεστές που αναφέρετε εσείς σας δίνει και την συνέχεια για αυτούς που έγραψα εγώ. Για την ισότητα που αναφέρετε έχετε όμως δίκιο. Ίσως να έπρεπε να το αναφέρω σαν βήμα.

#7

Ilias_Zad έγραψε:
Η ίδια απόδειξη που κάνετε για το ότι είναι φραγμένοι οι τελεστές που αναφέρετε εσείς σας δίνει και την συνέχεια για αυτούς που έγραψα εγώ.

Ηλία, έχεις δίκιο. Φταίει τελικά η κούραση: για κάποιο λόγο νόμιζα ότι έπρεπε να βλέπουμε $\displaystyle{||x||_1}$ (αφού δουλεύουμε στον l_1

δεξιά ) αντί $\displaystyle{||x||_2}$ . Σωστά το έχεις, λοιπόν, με ||Tx||_1

. Συγνώμη.

Φιλικά,

Μιχάλης

Καλές ακολουθίες

Καλές ακολουθίες

Re: Καλές ακολουθίες

Re: Καλές ακολουθίες

Re: Καλές ακολουθίες

Re: Καλές ακολουθίες

Re: Καλές ακολουθίες

Re: Καλές ακολουθίες

Μέλη σε σύνδεση