Επιλογής Ισραήλ για SEEMOUS 2008/2/3

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8569
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Επιλογής Ισραήλ για SEEMOUS 2008/2/3

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Μαρ 07, 2012 4:14 pm

Ένας αριθμός k ονομάζεται καλός αν για κάθε n ο 1+2+\cdots + n διαιρεί τον 1^k + 2^k + \cdots + n^k. Να βρεθούν όλοι οι καλοί αριθμοί.


userresu
Δημοσιεύσεις: 83
Εγγραφή: Δευ Νοέμ 23, 2009 2:07 pm

Re: Επιλογής Ισραήλ για SEEMOUS 2008/2/3

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από userresu » Σάβ Μαρ 10, 2012 3:33 am

3 | 1+2^k άρα ο k είναι περιττός. Έστω P=1+2^k+...+n^k. Αν ο n είναι άρτιος, P \equiv 1+2^k+...+(-2)^k+(-1)^k\equiv 0 (mod (n+1)) και P\equiv 1+2^k+...+(-1)^k+0\equiv \frac{n}{2} (mod n) άρα P\equiv 0 (mod \frac{n}{2}) και αφού (\frac{n}{2},n+1)=1, \frac{n(n+1)}{2} | P. Ομοίως αποδεικνύεται για n περιττό. Άρα οι καλοί k είναι οι περιττοί. (Βλέπουμε ότι οι εκθέτες των όρων του P θα μπορούσαν να είναι περιττοί αριθμοί όχι απαραίτητα ίσοι και να ισχύει η ιδιότητα).


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες