SEEMOUS 2012/1

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8571
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

SEEMOUS 2012/1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Μαρ 08, 2012 3:42 pm

Έστω A = (a_{ij}) ο n \times n πίνακας όπου το a_{ij} είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του i^j + j^i με το 3. Να βρεθεί το μέγιστο n για το οποίο ισχύει ότι \det(A) \neq 0.


Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1303
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: SEEMOUS 2012/1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Πέμ Μαρ 08, 2012 4:09 pm

Διαγράφηκε ως λάθος :oops:
τελευταία επεξεργασία από silouan σε Πέμ Μαρ 08, 2012 9:02 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Ilias_Zad
Δημοσιεύσεις: 418
Εγγραφή: Δευ Ιαν 26, 2009 11:44 pm

Re: SEEMOUS 2012/1

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ilias_Zad » Πέμ Μαρ 08, 2012 7:59 pm

Σιλ νομίζω κάνεις λάθος. Βγαίνει n=5 όπως το βλέπω το τελικό αποτέλεσμα- θέλει κάποιες περιπτώσεις.


Άβαταρ μέλους
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1303
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: SEEMOUS 2012/1

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Πέμ Μαρ 08, 2012 9:02 pm

Βέβαια χαζομάρα, αντί να παίρνω περιοδικότητα 2 στον εκθέτη έπαιρνα 3...
Θα επιστρέψω με τις λεπτομέρειες.
τελευταία επεξεργασία από silouan σε Παρ Μαρ 09, 2012 12:28 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 659
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Peking University, Πεκίνο

Re: SEEMOUS 2012/1

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Πέμ Μαρ 08, 2012 9:03 pm

Βρήσκω >4. Ίσως να έχασα και τίποτα στις πράξεις όμως διότι βρήσκω ότι για n=4 ισούται με 4 η ορίζουσα. Επίσης είναι <7 σίγουρα διότι για n > 6 είναι σίγουρα 0 διότι:

Ο πίνακας γράφεται:

A=B+B^t+C+C^t όπου B={i^j(mod3)} (Πρέπει να παρατηρήσουμε ότι τα 2 εμφανίζονται μόνο σε γραμμές άρτιας τάξης, αλλά στίλες περιττής τάξης, πράγμα που σημαίνει ότι ποτέ δεν θα προσθέσουμε 2 2άρια που θα δώσουν 4>2 που δεν είναι υπόλοιπο. Επίσης ο πίνακας C επιλέγεται ώστε να έχει -3 σε κάποιες θέσεις έτσι ώστε στις θέσεις που έχει 1 ο B και 2 ο B^t να μη προκύπτει 3 αλλά 0 (το υπόλοιπο του 3 με τον εαυτό του), και είναι εύκολο να δούμε ότι αυτός ο πίνακας έχει βαθμό 1)

Στον πίνακα B έχουμε γραμμές που είναι ίσες είτε με (1,1,1,1,1...,1), είτε με (1,2,1,2,1,2,...), είτε με (0,0,0,0....,0), οπότε αν πάρουμε
οποιεσδήποτε 3 από αυτές, ο μόνος τρόπος να είναι γραμμικά ανεξάρτητες είναι να μην υπάρχει καμία μηδενική μεταξύ αυτών, τότε όμως από αρχή περιστερώνα
τουλάχιστον 2 από αυτές θα είναι ίδες, οπότε κάθε 3 θα είναι πάντα γραμμικά εξαρτημένες. Οπότε rank(B)=rank(B^t) \leq 2

Άρα
\displaystyle{rank(A) = rank(B+B^t+C+C^t) \leq rank(B) + rank(B^t) + rank(C) + rank(C^t) \leq 2+2+1+1 = 6}
και η απόδειξη έχει ολοκληρωθεί.


Κολλιοπουλος Νικος.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Ilias_Zad
Δημοσιεύσεις: 418
Εγγραφή: Δευ Ιαν 26, 2009 11:44 pm

Re: SEEMOUS 2012/1

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ilias_Zad » Πέμ Μαρ 08, 2012 9:19 pm

Νίκο το n \leq 6 είναι άμεσο γιατί για n>6 οι στήλες 1,7 είναι ίδιες (i^7=i sto Z_3). Τώρα για n=5,6 θέλει υπομονή και γραμμοπράξεις.


Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 659
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Peking University, Πεκίνο

Re: SEEMOUS 2012/1

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Πέμ Μαρ 08, 2012 9:38 pm

Ilias_Zad έγραψε:Νίκο το n \leq 6 είναι άμεσο γιατί για n>6 οι στήλες 1,7 είναι ίδιες (i^7=i sto Z_3). Τώρα για n=5,6 θέλει υπομονή και γραμμοπράξεις.

Όντως, δεν το περίμενα να είναι τόσο απλό το να απορρίψεις τα μεγάλα, γιατί για τα μικρά δεν υπάρχει τίποτα το ουσιώδες παρα μόνο γραμμοπράξεις ή ανάπτυγμα και πράξεις... άρα μάλλον κακό θέμα για διαγωνισμό.


Κολλιοπουλος Νικος.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης