SEEMOUS 2012/2

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8569
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

SEEMOUS 2012/2

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Μαρ 08, 2012 3:58 pm

Θεωρούμε τα ορθογώνια τρίγωνα \triangle A_0A_1A_2, \triangle A_0A_2A_3,\ldots, \triangle A_0A_{n-1}A_n, \ldots όπως στην εικόνα.
problem2.png
problem2.png (4.43 KiB) Προβλήθηκε 875 φορές
Είναι δυνατόν το σύνολο \{A_n: n\geqslant 0\} να μην είναι φραγμένο αλλά η σειρά \displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty} m(\angle A_{n-1}A_0A_n)} να συγκλίνει; (Όπουm(\angle ABC) είναι το μέτρο της γωνίας \angle ABC.)


GVlachos
Δημοσιεύσεις: 126
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 8:04 pm

Re: SEEMOUS 2012/2

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από GVlachos » Πέμ Μαρ 08, 2012 5:50 pm

Έστω ότι η σειρά συγκλίνει. Τότε υπάρχει φυσικός αριθμός k με \displaystyle{ \sum_{n=k+1}^{\infty} m(\angle A_{n-1}A_0A_n)}<\frac{ \pi}{4}
Τότε αν φέρουμε την κάθετη στο A_{0}A_{k} στο A_k και θεωρήσουμε σημείο B πάνω στην κάθετη τέτοιο ώστε m(\angle BA_0A_k)=\frac{ \pi}{4} και το A_{k+1} να βρίσκεται στο εσωτερικό του τριγώνου BA_0A_k, τότε είναι εύκολο να δούμε ότι κάθε σημείο A_n με n \geq k+1 βρίσκεται στο εσωτερικό του τριγώνου αυτού, άρα το σύνολο είναι φραγμένο και η απάντηση στο ερώτημα είναι αρνητική.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8569
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: SEEMOUS 2012/2

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Μαρ 08, 2012 6:28 pm

Έχω μπερδευτεί. Το πρόβλημα φαίνεται σχεδόν τετριμμένο και δεν βλέπω τελικά λάθος στην μετάφρασή μου. Ας το δει και κανένας (το μετέφρασα από εδώ) άλλος μπας και κάτι δεν κατάλαβα καλά. Φυσικά η πηγή δεν είναι επίσημη. Πάντως το πιο κάτω νομίζω έχει περισσότερο ενδιαφέρον:

Είναι δυνατόν το σύνολο \{A_n: n\geqslant 0\} να είναι φραγμένο αλλά η σειρά \displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty} m(\angle A_{n-1}A_0A_n)} να αποκλίνει;


Ilias_Zad
Δημοσιεύσεις: 418
Εγγραφή: Δευ Ιαν 26, 2009 11:44 pm

Re: SEEMOUS 2012/2

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ilias_Zad » Πέμ Μαρ 08, 2012 8:26 pm

Δημήτρη σωστό είναι και από όσο μίλησα με τα παιδιά είναι και το επίσημο δεύτερο. Για να τα δούμε και αναλυτικά και το αρχικό και αυτό που λες. Έχουμε ότι συγκλίνει η \sum \arccos(\frac{a_n}{a_{n+1}})όπου a_n=l(A_0A_n) γνησίως αύξουσα ακολουθία. Τώρα από κριτήριο σύγκρισης αφού \arccos{x}>1-x και \frac{\ln{x}}{1-x} \rightarrow -1 έχουμε ότι συγκλίνει και η \sum \ln(a_n/a_{n+1}) άρα και η ακολουθία a_n είναι συγκλίνουσα , άρα φραγμένη. QED
Για αυτό που λες Δημήτρη μπορούμε να δούμε ότι η \arccos{x} συμπεριφέρεται σαν την \sqrt{ 1-x^2} κοντά στο 1 οπότε για a_n με a_{n+1}=\frac{n^2a_n}{n^2-1} θα έλεγα ότι είμαστε οκ.


Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 659
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Peking University, Πεκίνο

Re: SEEMOUS 2012/2

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Πέμ Μαρ 08, 2012 10:11 pm

Διαφορετικά:

Έστω ότι γίνεται, τότε αν u_1,... , u_n, ... η ακολουθία των γωνιών, θέλουμε: u_1 + ... + u_n + ... < +\infty και |A_n|=\frac{|A_0|}{\cos{u_1}...\cos{u_n}} μη φραγμένο που συμβαίνει μόνο αν {\cos{u_1}...\cos{u_n} \rightarrow 0^+ \Leftrightarrow \sum_{k=1}^{+\infty}{ln(\cos{u_k})} = -\infty.
Όμως για αρκετά μεγάλο n_0 το u_n < \frac{\pi}{4} \forall n \geq n_0 (αφού u_n \rightarrow 0),
και στο [0, \frac{\pi}{4}] η συνάρτηση f(x)=ln(\cos{x})+x είναι αύξουσα και κάτω φραγμένη από 0, οπότε:
\sum_{k=1}^{+\infty}{ln(\cos{u_k})} \geq \sum_{k=1}^{n_0}{ln(\cos{u_k})} - \sum_{k=n_0+1}^{+\infty}{u_k} > -\infty, άτοπο

Άρα η απάντηση είναι αρνητική


Κολλιοπουλος Νικος.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης