(α) Επειδή

, για κάθε

με

έχουμε

Επειδή όμως

για κάθε

και επειδή επιπλεόν δεν μπορεί να ισχύει ότι

για κάθε

(αφού τότε ο

δεν θα ήταν αντιστρέψιμος) τότε πρέπει να υπάρχει τουλάχιστον ένα

ώστε

και τουλάχιστον ένα

ώστε

. Δηλαδή κάθε στήλη του

έχει τουλάχιστον δύο μη μηδενικά στοιχεία. Το ζητούμενο έπεται.
[Τώρα που το βλέπω η συνθήκη ότι ο

είναι συμμετρικός ήταν αχρείαστη. Κοίταξα και την επίσημη λύση μήπως έκανα καμιά γκάφα αλλά είναι η ίδια με την δική μου.]
(β) Ας συμβολίσουμε με

τον πίνακα. Θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο

όπου

ισούται με την ορίζουσα του πίνακα που λαμβάνεται από τον

αν διαγράψουμε την

στήλη και την

γραμμή. Παρατηρούμε τώρα ότι αν διαγράψουμε την πρώτη γραμμή του

τότε η δεύτερη στήλη είναι πολλαπλάσια της πρώτης και άρα από τον πιο πάνω τύπο πρέπει

εκτός και αν

. Για κάθε

αν διαγράψουμε την

γραμμή τότε οι στήλες

και

είναι ίδιες και άρα

εκτός και αν

. Τέλος αν διαγράψουμε την

γραμμή τότε οι στήλες

και

είναι ίδιες και άρα

εκτός και αν

. Άρα ο αντίστροφος του πίνακα έχει τουλάχιστον

μηδενικά στοιχεία και από το (α) δεν μπορεί να έχει περισσότερα άρα έχει ακριβώς

μηδενικά στοιχεία.
Στην απάντηση υπέθεσα ότι ο πίνακας είναι πράγματι αντιστρέψιμος. Για να το δούμε αυτό ας υποθέσουμε ότι

. Συγκρίνοντας την πρώτη με την δεύτερη γραμμή του

παρατηρούμε ότι πρέπει να έχουμε

. Επίσης, συγκρίνοντας την

με την

γραμμή του

όπου

παρατηρούμε ότι

. Άρα

και άρα πρέπει να έχουμε και

. Άρα τελικά ο

είναι πράγματι αντιστρέψιμος.