IMC 1994/1/1

#1

(α) Έστω $n \geqslant 2$ και

ένας $n \times n$ συμμετρικός και αντιστρέψιμος πίνακας με θετικά πραγματικά στοιχεία. Αν με z_n

συμβολίζουμε των αριθμό των στοιχείων του $A^{-1}$ που ισούνται με

να δειχθεί ότι $z_n \leqslant n^2 - 2n$ .

(β) Να βρεθεί ο αριθμός των μηδενικών στοιχείων του αντιστρόφου του $n \times n$ πίνακα $\displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 2 & \cdots & 2 \\ 1 & 2 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 2 & \cdots & 2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 2 & 1 & 2 & \cdots & \cdot \end{pmatrix}.}$

#2

(α) Επειδή $AA^{-1} = I$ , για κάθε $1 \leqslant i, j \leqslant n$ με $i \neq j$ έχουμε $\displaystyle{\sum_{k=1}^n A_{ik}A^{-1}_{kj} = 0.}$ Επειδή όμως $A_{ik} > 0$ για κάθε i,k

και επειδή επιπλεόν δεν μπορεί να ισχύει ότι $A^{-1}_{kj}$ για κάθε

(αφού τότε ο $A^{-1}$ δεν θα ήταν αντιστρέψιμος) τότε πρέπει να υπάρχει τουλάχιστον ένα

ώστε $A^{-1}_{kj} > 0$ και τουλάχιστον ένα

ώστε $A^{-1}_{kj} < 0$ . Δηλαδή κάθε στήλη του $A^{-1}$ έχει τουλάχιστον δύο μη μηδενικά στοιχεία. Το ζητούμενο έπεται.

[Τώρα που το βλέπω η συνθήκη ότι ο

είναι συμμετρικός ήταν αχρείαστη. Κοίταξα και την επίσημη λύση μήπως έκανα καμιά γκάφα αλλά είναι η ίδια με την δική μου.]

(β) Ας συμβολίσουμε με

τον πίνακα. Θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο $\displaystyle{ A^{-1} = \frac{\mathrm{adj}(A)}{\det(A)}}$ όπου $\mathrm{adj}(A)_{ij}$ ισούται με την ορίζουσα του πίνακα που λαμβάνεται από τον

αν διαγράψουμε την

στήλη και την

γραμμή. Παρατηρούμε τώρα ότι αν διαγράψουμε την πρώτη γραμμή του

τότε η δεύτερη στήλη είναι πολλαπλάσια της πρώτης και άρα από τον πιο πάνω τύπο πρέπει $(A^{-1})_{j1} = 0$ εκτός και αν $j \in \{1,2\}$ . Για κάθε $2 \leqslant i \leqslant n-1$ αν διαγράψουμε την

γραμμή τότε οι στήλες i-1

και

είναι ίδιες και άρα $(A^{-1})_{ji} = 0$ εκτός και αν $j \in \{i-1,i+1\}$ . Τέλος αν διαγράψουμε την

γραμμή τότε οι στήλες n-1

και

είναι ίδιες και άρα $(A^{-1})_{jn} = 0$ εκτός και αν $j \in \{n-1,n\}$ . Άρα ο αντίστροφος του πίνακα έχει τουλάχιστον n^2 - 2n

μηδενικά στοιχεία και από το (α) δεν μπορεί να έχει περισσότερα άρα έχει ακριβώς n^2-2n

μηδενικά στοιχεία.

Στην απάντηση υπέθεσα ότι ο πίνακας είναι πράγματι αντιστρέψιμος. Για να το δούμε αυτό ας υποθέσουμε ότι Av = 0

. Συγκρίνοντας την πρώτη με την δεύτερη γραμμή του

παρατηρούμε ότι πρέπει να έχουμε v_1 = 0

. Επίσης, συγκρίνοντας την

με την

γραμμή του

όπου $1 \leqslant i \leqslant n-2$ παρατηρούμε ότι $v_{i+1} = 0$ . Άρα $v_1 = \cdots = v_{n-1} = 0$ και άρα πρέπει να έχουμε και v_n = 0

. Άρα τελικά ο

είναι πράγματι αντιστρέψιμος.

IMC 1994/1/1

IMC 1994/1/1

Re: IMC 1994/1/1

Μέλη σε σύνδεση