IMC 1994/1/1

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8600
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

IMC 1994/1/1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Μαρ 20, 2012 6:03 pm

(α) Έστω n \geqslant 2 και A ένας n \times n συμμετρικός και αντιστρέψιμος πίνακας με θετικά πραγματικά στοιχεία. Αν με z_n συμβολίζουμε των αριθμό των στοιχείων του A^{-1} που ισούνται με 0 να δειχθεί ότι z_n \leqslant n^2 - 2n.

(β) Να βρεθεί ο αριθμός των μηδενικών στοιχείων του αντιστρόφου του n \times n πίνακα \displaystyle{ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 2 & \cdots & 2 \\ 1 & 2 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 2 & \cdots & 2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 2 & 1 & 2 & \cdots & \cdot \end{pmatrix}.}


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8600
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: IMC 1994/1/1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Απρ 20, 2012 2:14 pm

(α) Επειδή AA^{-1} = I, για κάθε 1 \leqslant i, j \leqslant n με i \neq j έχουμε \displaystyle{\sum_{k=1}^n A_{ik}A^{-1}_{kj} = 0.} Επειδή όμως A_{ik} > 0 για κάθε i,k και επειδή επιπλεόν δεν μπορεί να ισχύει ότι A^{-1}_{kj} για κάθε k (αφού τότε ο A^{-1} δεν θα ήταν αντιστρέψιμος) τότε πρέπει να υπάρχει τουλάχιστον ένα k ώστε A^{-1}_{kj} > 0 και τουλάχιστον ένα k ώστε A^{-1}_{kj} < 0. Δηλαδή κάθε στήλη του A^{-1} έχει τουλάχιστον δύο μη μηδενικά στοιχεία. Το ζητούμενο έπεται.

[Τώρα που το βλέπω η συνθήκη ότι ο A είναι συμμετρικός ήταν αχρείαστη. Κοίταξα και την επίσημη λύση μήπως έκανα καμιά γκάφα αλλά είναι η ίδια με την δική μου.]

(β) Ας συμβολίσουμε με A τον πίνακα. Θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο \displaystyle{ A^{-1} = \frac{\mathrm{adj}(A)}{\det(A)}} όπου \mathrm{adj}(A)_{ij} ισούται με την ορίζουσα του πίνακα που λαμβάνεται από τον A αν διαγράψουμε την i στήλη και την j γραμμή. Παρατηρούμε τώρα ότι αν διαγράψουμε την πρώτη γραμμή του A τότε η δεύτερη στήλη είναι πολλαπλάσια της πρώτης και άρα από τον πιο πάνω τύπο πρέπει (A^{-1})_{j1} = 0 εκτός και αν j \in \{1,2\}. Για κάθε 2 \leqslant i \leqslant n-1 αν διαγράψουμε την i γραμμή τότε οι στήλες i-1 και i+1 είναι ίδιες και άρα (A^{-1})_{ji} = 0 εκτός και αν j \in \{i-1,i+1\}. Τέλος αν διαγράψουμε την n γραμμή τότε οι στήλες n-1 και n είναι ίδιες και άρα (A^{-1})_{jn} = 0 εκτός και αν j \in \{n-1,n\}. Άρα ο αντίστροφος του πίνακα έχει τουλάχιστον n^2 - 2n μηδενικά στοιχεία και από το (α) δεν μπορεί να έχει περισσότερα άρα έχει ακριβώς n^2-2n μηδενικά στοιχεία.

Στην απάντηση υπέθεσα ότι ο πίνακας είναι πράγματι αντιστρέψιμος. Για να το δούμε αυτό ας υποθέσουμε ότι Av = 0. Συγκρίνοντας την πρώτη με την δεύτερη γραμμή του A παρατηρούμε ότι πρέπει να έχουμε v_1 = 0. Επίσης, συγκρίνοντας την i με την i+1 γραμμή του A όπου 1 \leqslant i \leqslant n-2 παρατηρούμε ότι v_{i+1} = 0. Άρα v_1 = \cdots = v_{n-1} = 0 και άρα πρέπει να έχουμε και v_n = 0. Άρα τελικά ο A είναι πράγματι αντιστρέψιμος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης